TD d'algèbre générale Jean-Romain Heu 2020 1 1 Logique Exercice de base. On con

TD d'algèbre générale Jean-Romain Heu 2020 1 1 Logique Exercice de base. On considère les propositions suivantes : P : le nombre 91 est un multiple de 7. Q : le polynôme X2 + 2X + 2 n'a pas de racine réelle.  Les traduire en langage mathématique.  Donner leurs négations.  Rédiger les démonstrations de P et Q (sans faire de calcul de discriminant). Exercices du TD 1 Exercice 1 On se donne un nombre entier n, une partie non vide A de N et des fonctions f et g dé nies sur R. Traduire à l'aide de quanti cateurs les propositions suivantes puis donner leur négation. 1. L'entier n est un carré. 2. L'entier n n'est pas divisible par 7. 3. L'entier n est le minimum de la partie A. 4. La partie A de N n'a pas de maximum. 4. La fonction f est bornée. 6. Les courbes des fonctions f et g se rencontrent. Les fonctions réelles x 7→x2 et x 7→cos2(x)+2 sont-elles bornées ? Leurs graphes s'intersectent-ils ? Rédiger des démonstrations. Exercice 2 Traduire en langage mathématique les propositions suivantes. Les démontrer ou les in rmer. 1. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 12, il faut qu'il soit divisible par 2 et 3. 2. Pour qu'un nombre entier soit divisible par 12, il su t qu'il soit divisible par 2 et 3. 3. Pour qu'un nombre entier n divise le produit de deux nombres entiers il faut que n divise l'un de ces deux entiers. 4. Pour qu'un nombre entier n divise le produit de deux nombres entiers il su t que n divise l'un de ces deux entiers. 5. Un triangle ABC du plan est rectangle en A si et seulement si le milieu de [BC] est équidistant aux trois points. 6. Pour qu'un quadrilatère du plan soit un losange, il faut et il su t que ses diagonales soient orthogonales. Exercice 3 Traduire en français usuel les propositions suivantes puis donner leur négation. En n, les démontrer ou les in rmer. (a|b signi e  a divise b  ou encore  b est un multiple de a , et P désigne l'ensemble des nombres premiers.) 1. ∀n ∈N, (6|n ∧4|n) = ⇒24|n 2. ∀n ∈N, (6|n ∧n|40) = ⇒n ∈P 3. ∀p ∈P, ∀a ∈N, ∀b ∈N, (p|a et p|b = ⇒p| a+b 2 ) 4. ∀n ∈N \ {0, 1}, ∃p ∈P, ∃q ∈P, 2n = p + q (Chercher Goldbach sur internet.) 5. ∀n ∈N, 2n −1 ∈P = ⇒n ∈P (Raisonner par contraposée.) 6. ∀x ∈R, x2 ≥x 7. ∀x ∈R, ∃!y ∈R, xy = 1 2 Exercices du TD 2 Exercice 4 1. On considère la proposition ci-dessous : ∀x ∈R, ∃a ∈Z∗, ∃b ∈Z, ∃c ∈Z, ax2 + bx + c = 0 On reconnaît à droite une équation polynomiale de degré 2 en x. (a) Traduire cette proposition en langage courant. (b) Montrer que 3 √ 2 est un nombre irrationnel. (c) Démontrer que la proposition est fausse. 2. On considère la proposition P suivante : Il existe une fonction dé nie sur R dont le graphe intersecte toutes les droites du plan. (a) Soit f une fonction réelle et D la droite d'équation y = 2x + 3. Traduire en langage mathématique le fait que le graphe de f intersecte la droite D. (b) Traduire la proposition P en langage mathématique. (c) Démontrer cette proposition. Exercice 5 Notons E l'ensemble E = {f : R →R | f dérivable sur R}. Démontrer ou in rmer les propositions suivantes. 1. ∀f ∈E, f paire ⇔f ′ impaire 2. ∀f ∈E, f impaire ⇔f ′ paire 3. ∃!f ∈E, f ′ = f 4. ∀f ∈E, ∀g ∈E, f paire = ⇒g ◦f paire 5. ∀f ∈E, ∀g ∈E, f paire = ⇒f ◦g paire Précisions : si on dé nit h par ∀x ∈R, h(x) = f(−x), alors h′(x) = −f ′(−x). f ◦g désigne la composée de g et f et est dé nie par f ◦g(x) = f(g(x)). Exercice 6 Donner les listes des entiers n compris entre 0 et 30 véri ant les propriétés suivantes. 1. ∃k ∈N, k ≥2 et k2|n. 2. ∀k ∈N, k|n = ⇒k2|n. 3. ∀k ∈P, k|n = ⇒k2|n. 4. ∃k ∈P, ∃j ∈P, n = kj. 5. ∀k ∈N, ∃j ∈N, n|k ou n|(k + j). 6. ∃j ∈N, ∀k ∈N, n|k ou n|(k + j). 3 Exercices du TD 3 Exercice 7 Le nombre réel log10(2) est-il rationnel ? La fonction log10 désigne le logarithme décimal. On rappelle que c'est la fonction réciproque de x 7→10x. Exercice 8 Démontrer les propositions suivantes par récurrence. 1. ∀n ∈N, 7 divise 32n+1 + 2n+2. 2. ∀n ∈N, 3 divise 4n + 5. 3. ∀n ∈?, 2n ⩽n!. Exercice 9 Petit théorème de Fermat Pour n ∈N∗et k ∈{0, . . . , n}, le coe cient binomial n k  est dé ni par n k  = n! k!(n−k)! (on rappelle que 0! = 1). 1. Montrer ∀n ∈N∗, ∀k ∈{0, . . . , n −1}, n+1 k+1  = n k  + n k+1  . 2. Calculer tous les coe cients binomiaux pour n = 1, . . . , 10. 3. Montrer, à l'aide d'une récurrence sur n, que les coe cients binomiaux sont des nombres entiers. 4. Soit p ∈P. Montrer ∀k ∈{1, . . . , p −1}, p divise p k  . Est-ce encore vrai si p n'est pas premier ? 5. En déduire le petit théorème de Fermat : soit p ∈P et a ∈N. Alors p divise ap −a. Indication : on pourra procéder par récurrence sur a et utiliser la formule du binôme de Newton. Autres exercices Exercice 10 Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?  Pour qu'un nombre entier n divise le nombre entier m, il faut que chaque facteur premier de n soit un facteur premier de m.  Pour qu'un nombre entier n divise le nombre entier m, il su t que chaque facteur premier de n soit un facteur premier de m.  Pour que deux cercles du plan n'aient pas d'intersection, il faut et il su t que la distance entre leurs centres soit supérieure strictement à la somme de leurs rayons.  Pour que 4 points du plan forment un parallélogramme, il faut et il su t que leurs diagonales se coupent en leur milieu. Exercice 11 Principe des tiroirs Supposons que m chaussettes soient réparties dans n tiroirs. Démontrer que si m > n, alors un des tiroirs au moins contient plusieurs chaussettes. En déduire que si on considère n + 1 nombres réels de l'intervalle [0, 1], alors on peut toujours en trouver deux dont la diérence est inférieure à 1 n. 4 2 Arithmétique Exercices de base.  Division euclidienne. Soient a = 147 et b = 63. Appliquer l'algorithme d'Euclide a n de déterminer le PGCD p de a et b et des entiers u et v satisfaisant l'égalité de Bézout au + bv = p. Recommencer avec a = 1 111 111 111 et b = 123 456 789 (c'est moins di cile que cela en a l'air).  Divisibilité. Traduire en langage mathématique et démontrer la proposition suivante : si un entier en divise deux autres, alors il divise leur somme.  Lemme de Gauss. Adapter la preuve du lemme d'Euclide pour démontrer le lemme de Gauss. En déduire que si un nombre entier est divisible par 15 et par 4, alors il est divisible par 60. Généraliser.  Calcul modulaire. Calculer chacun des restes modulaires suivants en moins de 20s. 11−19 mod 6, 6×7+7 mod 9, 2×3×4 mod 6, 33 mod 7, 43×67 mod 5, 35×29 mod 11. Exercices du TD 4 Exercice 12 Déterminer les classes de congruence de 30233023 dans Z/nZ pour n = 2, 3, 4, 5. Exercice 13 Trouver dans Z/3Z les racines des polynômes X2 + X + 1, X2 + 1, X3 −X et X3 + 2X + 1. Exercice 14 Équations modulaires 1. Donner la liste des valeurs de ¯ n2 pour ¯ n ∈Z/13Z. 2. Résoudre dans Z/13Z l'équation x2 + x + ¯ 7 = ¯ 0. 3. Résoudre de même dans Z/12Z l'équation x2 + ¯ 4x + ¯ 3 = 0. Exercice 15 Équations diophantiennes. Montrer que les équations suivantes n'ont pas de solutions entières, c'est-à-dire telles que x, y et z soient des entiers. x2 + y2 = 4z + 3, x2 −2y6 = 17, x2 + y2 = 9z + 6. Indication : on pourra se placer dans Z/4Z, Z/7Z et Z/3Z. Autres exercices Exercice 16 Démontrer que si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, alors les nombres a + b et ab sont également premiers entre eux. La réciproque est-elle vraie ? Exercice 17 Soit n un entier naturel non nul. Existe-t-il n nombres entiers consécutifs tels qu'aucun d'entre uploads/Geographie/ algebre-td-pdf.pdf

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