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1ère S1 Contrôle du mardi 12 mai 2015 (3 heures)  Le barème est donné sur 40.

1ère S1 Contrôle du mardi 12 mai 2015 (3 heures)  Le barème est donné sur 40.  On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.  Un certain nombre de questions nécessite une recherche préalable au brouillon. On ne rédigera sur la copie qu’après avoir effectué cette recherche.  Il est demandé de ne rien écrire sur le sujet et, en particulier, de ne rien marquer sur les figures. I. (4 points) Cet exercice est un QCM composé de 4 questions. Pour chaque question, trois réponses sont proposées ; une seule réponse est exacte. Compléter le tableau donné sur la feuille de réponses avec les lettres A, B, C correspondant aux réponses choisies. Aucune justification n’est attendue. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 1 point. Aucun point n’est retiré en l’absence de réponse. On considère la suite arithmétique   n u définie sur  de premier terme 0 5 3 u  et de raison 1 3 . On note   n v la suite définie par n n v u  . 1°) Pour tout entier naturel n, on a : A. 1 1 3 n n u u   B. 1 1 3 n n u u    C. 1 3 n n u u   2°) Pour tout entier naturel n, 1 n u  est égal à : A. 2 3 n   B. 2 3 n  C. 8 3 n  3°) Pour tout entier naturel n, la somme 0 1 ... n u u u    est égale à : A. 2 10 6 n n  B. 2 9 10 6 n n   C. 2 2 18 20 3 n n   4°) La suite   n v est définie à partir de l’indice : A. 0 B. 5 C. 6 II. (3 points) Soit A et B deux points distincts fixés du plan. On pose AB a  . On note 0 A le milieu de [AB], 1 A le milieu de   0 A B , 2 A le milieu de   1 A B . On construit une suite de points An tels que, pour tout entier naturel 1 n , An est le milieu du segment   1 A B n . On pose 0 0 AA d  , et pour tout entier naturel 1 n , 1 A A n n n d   . 1°) Exprimer 1 n d  en fonction de n d . On ne demande pas de justifier. En déduire la nature de la suite   n d . On répondra par une phrase en donnant toutes les précisions utiles. 2°) Démontrer que l’on a : 1 0 1 1 2 k n k n k d a             (n étant un entier naturel quelconque). III. (5 points) On considère la suite   n u définie sur  par son premier terme 0 1 u  et par la relation de récurrence 1 2 n n n u u u   pour tout entier naturel n. 1°) On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, de l’indice 0 à l’indice n. Parmi les trois algorithmes ci-contre, un seul convient. Préciser lequel sans justifier la réponse. 2°) On admet que pour tout entier naturel n, on a : 0 n u  . Pour tout entier naturel n, on pose 1 1 n n v u  . a) Démontrer que   n v est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : 1 1 2 1 n n u   . Algorithme 1 Saisir n U prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à n Faire U prend la valeur 2 U U  FinPour Afficher U Algorithme 2 Saisir n U prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à n Faire U prend la valeur 1 Afficher U U prend la valeur 2 U U  FinPour Algorithme 3 Saisir n U prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à n Faire Afficher U U prend la valeur 2 U U  FinPour Afficher U IV. (7 points) Lors d’un jeu, un joueur doit effectuer 10 parties indépendantes. La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1 4 . 1°) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Répondre par une phrase, sans justifier, en donnant toutes les précisions utiles. b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi au millième. c) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au plus 5 parties ? Le résultat sera arrondi au millième. d) Déterminer l’espérance de X. 2°) Le joueur doit payer 30 € pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 €. Chaque partie perdue lui fait perdre 2 €. On note Y le gain algébrique du joueur en euros (en tenant compte de la mise de 30 €). a) Exprimer Y en fonction de X. b) Calculer l’espérance de Y. c) Calculer la probabilité pour le joueur d’avoir un gain strictement supérieur à 10 €. Le résultat sera arrondi au millième. V. (11 points) Soit ABCD un carré de côté 1. Pour tout point M du segment [AC], on note P et Q ses projetés orthogonaux respectivement sur les droites (AB) et (BC). On pose AP x  . Aucune figure n’est demandée sur la copie. A P B D C M Q 1°) Dans cette question, M est un point quelconque de [AC]. On pourra utiliser directement les résultats suivants : BQ x  , BP 1 x  , CQ 1 x  . a) Exprimer les produits scalaires DM PB      et DM BQ      en fonction de x. b) En déduire que la droite (DM) est perpendiculaire à la droite (PQ). 2°) Dans cette question, M est un point quelconque de [AC]. Démontrer que le produit scalaire DP DQ      est indépendant de x. 3°) Dans cette question, on place M au milieu de [AC] ; P et Q sont alors les milieux respectifs de [AB] et [BC]. On note  la mesure en radians de l’angle  PDQ . À l’aide de la question précédente, calculer cos . 4°) Dans cette question, M est un point quelconque de [AC]. On note I le milieu du segment [PQ]. a) Exprimer 2 DI en fonction de x. On mettra en évidence la formule utilisée et l’on donnera le résultat final sous forme développée réduite après avoir effectué les calculs au brouillon. b) Déterminer le (ou les) réel(s) x tel(s) que DI 2 PQ  (valeurs exactes). Dans les exercices VI et VII, le plan est muni d’un repère orthonormé   O, , i j  . VI. (5 points) 1°) Attribuer les équations cartésiennes suivantes à chacun des cercles du graphique ci-dessous. a) 2 2 4 0 x y    ; b) 2 2 2 2 0 x y x y     ; c) 2 2 2 4 0 x y x     . On justifiera uniquement pour l’équation b). O x y 2°) On note D la droite d’équation cartésienne 2 4 0 x y    . Démontrer que D est tangente à l’un des trois cercles précédents. VII. (5 points) On donne les points E et F de coordonnées respectives (2 ; 0) et   1; 3 . On note  le cercle de centre E passant par O et  la droite passant par O et perpendiculaire à (OF). 1°) Déterminer une équation cartésienne de  et de . 2°) Vérifier rapidement que F (en une ligne). 3°) La droite  coupe le cercle  en O et en un point G distinct de O. Déterminer par le calcul les coordonnées de G. 4°) On se propose de retrouver les coordonnées de G par une autre méthode. Démontrer que [FG] est un diamètre de . En déduire les coordonnées de G. 1 C 2 C 3 C i  j  1ère S1 Nom : …………………… Prénom : ………………… Contrôle du 12 mai 2015 Copie à rendre I II III IV V VI VII Total/40 Total/20 I. (4 points) II. (3 points) 1°) n  ………………………………………… (une seule égalité) ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… 2°) ………………………………………………………………………………………………………………………. ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… ..…………………………………………………………………………………….…………………………………… Question 1 2 3 4 Total Réponse III. (5 points) uploads/Geographie/ devoir-commun-math-5-lycee-blanche2-castille-avec-corrige.pdf