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G.P. DS 03 27 Octobre 2007 DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisé

G.P. DS 03 27 Octobre 2007 DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisée durée: 4 heures Sujet Fibre optique.........................................................................................................................................2 I.Loi de Snell-Descartes pour la réfraction.......................................................................................2 A.Principe de Fermat.................................................................................................................. 2 B.Approche ondulatoire..............................................................................................................2 C.Réflexion totale....................................................................................................................... 3 II.Fibre optique (ou guide) à saut d'indice........................................................................................4 A.Ouverture numérique...............................................................................................................4 B.Modes...................................................................................................................................... 5 III.Analogie avec un guide d'ondes.................................................................................................. 6 Aluminium............................................................................................................................................8 I.Étude du diagramme potentiel-pH de l'aluminium........................................................................ 8 II.Cinétique.......................................................................................................................................9 1/34 G.P. DS 03 27 Octobre 2007 Fibre optique Le guidage de la lumière est assuré par des fibres optiques: c’est un guide d'onde pour les radiations lumineuses. Une fibre optique est constituée d’un cylindre de verre (ou de plastique) appelé cœur, entouré d’une gaine transparente d’indice de réfraction plus faible. Le diamètre du cœur est de l'ordre de 50 µm et le diamètre extérieur de la gaine est de l'ordre de 100 µm. I. Loi de Snell-Descartes pour la réfraction A. Principe de Fermat On considère un dioptre plan séparant deux milieux transparents homogènes, d’indices de réfraction différents n1 et n2 . Les deux points A1 et A2 sont fixés: A1 situé dans le premier milieu d’indice n1 est à la distance x1 du dioptre et A2 dans le second milieu d’indice n2 est à la distance x2 du dioptre. O et H désignent les projetés de A1 et A2 sur le dioptre. Le point I sur le dioptre (tel que A1 , A2 et I appartiennent au même plan) est repéré par OI=z . On pourra poser OH=h . On suppose que le trajet de la lumière pour aller de A1 à A2 passe par le point I . Il est donc composé du trajet rectiligne A1 I dans le milieu 1 et du trajet rectiligne I A2 dans le milieu 2 . 1. Rappeler l'expression de la vitesse v de la lumière dans un milieu d'indice n en fonction de c et n (la célérité de la lumière dans le vide est notée c ). 2. Exprimer la durée t zdu trajet en fonction de n1,n2, z ,h , x1, x2,c . 3. On cherche la position du point I pour lequel cette durée est minimale. • Déterminer la relation vérifiée par z afin que la durée du trajet soit extrémale. • Justifier qualitativement que cette durée est un minimum. • Montrer que le trajet pour cette valeur de z respecte la loi de Snell-Descartes pour la réfraction. B. Approche ondulatoire 2/34 A1 A2 I O H G.P. DS 03 27 Octobre 2007 4. Soit un milieu transparent d’indice n . On considère dans ce milieu une onde lumineuse =0exp[ j t –  k  r] . Rappeler l'expression donnant le module k de  k en fonction de la longueur d’onde dans le milieu. 5. En déduire l'expression de k en fonction de la longueur d'onde 0 dans le vide et de l’indice n du milieu. Une onde dont le vecteur d'onde est  k 1 dans le milieu 1 arrive sur une surface plane séparant deux milieux transparents d'indice n1 et n2 . Les rayons sont dans le plan xOz . L’ angle d’incidence est noté i1 . Le vecteur d'onde est noté  k 2 dans le milieu 2 .On prendra l’origine en O appartenant à la surface yOz du dioptre. L'onde incidente en O est 1O ,t =10exp[ jt –1O] . L'onde réfractée en O est 2O ,t=20 exp[ j t – 2O ] (On ne décrit pas, dans cette question, l’onde réfléchie). On considère un point I quelconque sur la surface du dioptre ( xI =0 ). 6. Écrire 1I ,tet 2I ,ten utilisant notamment  k 1 ,  k 2 ,  r= OI . 7. Le déphasage entre l’onde incidente et l’onde réfractée doit être indépendant du point I choisi sur la surface du dioptre. Écrire ce déphasage et en déduire avec précision que k 2, z=k 1, z ( k 2, z et k 1, z sont les coordonnées des vecteurs d’onde selon z ). 8. Écrire la relation entre k 2, x , k 2, z , 0 , n2 et en déduire la relation entre k 2, x , k 1, z , 0 , n2 . On suppose maintenant que l’onde lumineuse dans le milieu 2 est progressive. On a dessiné les rayons lumineux associés aux ondes progressives sur la figure précédente. Les angles d’incidence et de réfraction sont notés i1 et i2 . Les angles sur la figure sont comptés positivement. 9. Retrouver en utilisant le résultat de la question 7) la loi de Descartes pour la réfraction. C. Réflexion totale On suppose que l’onde arrive sur un milieu moins réfringent ( n2n1 ). Dans ce cas, l’onde dans le milieu 2 n’est pas toujours une onde plane progressive. 3/34 O z I i1 i2 x G.P. DS 03 27 Octobre 2007 10.Définir l’angle limite i1,lim pour le rayon incident tel qu’il n’existe plus de rayon réfracté et préciser son expression en fonction des indices. Que devient l’énergie lumineuse incidente lorsque la réfraction n’existe plus? Soit une onde incidente 1=01exp jt−k1 x cosi 1– k1 zsin i1dans le milieu 1 en un point de coordonnées x , y , z. On suppose que l’angle i1 est supérieur à l’angle limite précédent. 11.En utilisant 7) et 8) trouver les coordonnées de  k 2 et montrer que  k 2 est complexe. On obtiendra deux solutions. On s’intéresse alors à l’onde transmise dans le milieu 2 en un point de coordonnées x , y , z. Cette onde est une onde évanescente qui ne transporte pas d’énergie. 12.Le milieu étant considéré comme infini selon x , montrer que cette onde a pour expression: 2=02 exp−x/exp jt−k1 z sini1et donner l’expression de en fonction de 0, n1,n2,i1 . 13.Quelle est la direction de propagation de l’onde transmise? Déterminer la vitesse de phase de cette onde. Est-elle supérieure ou inférieure à la vitesse de la lumière dans ce milieu? 14.Représenter 2 en fonction de x (à z constant) à différents instants. Commenter le phénomène selon x . II. Fibre optique (ou guide) à saut d'indice Soit une fibre optique constituée d’un cœur cylindrique de rayon a et d’indice n1 , entouré d’une gaine d’indice n2 inférieur à n1 . Les faces d’entrée et de sortie sont perpendiculaires au cylindre d’axe Oz formé par la fibre. L’ensemble, en particulier la face d’entrée, est en contact avec un milieu d’indice n0 et pour les applications numériques on supposera que ce milieu est de l’air pour lequel n0=1 . A. Ouverture numérique 15.Un rayon lumineux SI arrive en un point I sur la face d’entrée de la fibre. A quelle(s) condition(s) d’incidence ce rayon a-t-il, dans la fibre, un trajet plan? Dans la suite, on étudie, pour simplifier, une géométrie bidimensionnelle: on considère en fait une couche plane (cœur) d’épaisseur 2a , d’indice n1 immergée dans une gaine d’indice n2 et le trajet étudié est plan. On considère un rayon SI incident sur le cœur et contenu dans le plan Oxz . On appelle i l’angle d’incidence et i l’angle avec la direction Ox dans le milieu d’indice n1 . 16.Quelle inégalité doit vérifier le sinus de l’angle i pour que le rayon lumineux subisse une réflexion totale sur l’interface cœur-gaine? La valeur extrémale de i est désignée par i L . 17.En déduire en fonction de n0 , n1 et n2 la condition que doit satisfaire sinipour que le rayon réfracté ait une propagation guidée en subissant des réflexions totales à chaque fois qu’il rencontre le dioptre cœur-gaine. 18.La valeur extrémale de i est alors désignée par m (angle d’acceptance de la fibre).On 4/34 G.P. DS 03 27 Octobre 2007 appelle ouverture numérique ( O.N. ) du guide la quantité O.N.=n0.sinm. • Exprimer O.N. en fonction de n1 et n2 . • Calculer i L et m (en degrés) puis O.N. pour une fibre d’indices n1 = 1,456 (silice) et n2 = 1,410 (silicone). • Quelle serait la valeur de ces grandeurs pour un guide d’onde à base d’arséniure de gallium pour lequel n1 = 3,9 et n2 = 3,0 ? Commentaires. θ i B. Modes La condition obtenue précédemment (cf: m ) est non suffisante pour rendre compte en détail de la propagation dans la fibre. En réalité, en un point quelconque dans le cœur de la fibre, l’intensité lumineuse résulte de la superposition des ondes qui se sont réfléchies en des points I 0 , I 1 , I 2 …etc. On ne tient pas compte de l'éventuel déphasage introduit par la réflexion sur l'interface coeur/gaine. 19. H et H ’ appartiennent au plan perpendiculaire au rayon I 0I 1 (voir figure). A quelle condition sur la différence de phases =H ’−H les ondes en H et en H ’ sont-elles en concordance de phase? 20.Calculer la distance parcourue par le rayon entre H et H ’ . (Pour faire ce calcul, il est plus 5/34 I0 I2 I1 i H H’ G.P. DS 03 27 Octobre 2007 pratique de considérer un point H en I 1 uploads/Geographie/ fibreoptique-aluminium.pdf