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Concours National Commun – Session 2014 – Filière TSI Epreuve de Physique I 1/7

Concours National Commun – Session 2014 – Filière TSI Epreuve de Physique I 1/7  On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées.  Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.  Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.  Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Problème I – Etude d'un pendule de torsion 1. Détermination de la constante de raideur d'un fil de torsion On considère un pendule de torsion constitué d'un fil de torsion vertical ( ) F supportant par son centre une tige horizontale  T de masse négligeable et de longueur 2l , aux extrémités A et B de laquelle son fixées deux petites sphères identiques de même masse m . L’extrémité supérieure du fil est reliée à un support fixe. La tige peut tourner autour de l’axe Oz matérialisé par le fil de torsion. Cet axe vertical est orienté vers le haut. Lorsqu'on fait tourner la tige selon l'axe du fil d'un angle  (figure 1.1), on "tord" le fil. Lorsqu'on lâche la tige, le fil se "détord" en exerçant sur la tige un couple de rappel C  où C est la constante de torsion du fil. On suppose qu'au repos, l'angle de torsion est nul. L'étude du mouvement du pendule est faite dans le référentiel terrestre ( , , , , ) R O x y z t supposé galiléen auquel on associe la base cartésienne ( , , ) x y z e e e . O ( ) F z figure 1.2 1 A 1 B 2 B 2 A  (T) a   règle ( ) A m O ( ) B m  z ( ) F figure 1.1  T Concours National Commun – Session 2014 – Filière TSI Epreuve de Physique I 2/7 A l’instant choisi comme origine des temps, le pendule est abandonné avec les conditions initiales 0 ( 0) t     et ( 0) 0 d t dt    . 1.1. Qu'appelle-t-on référentiel galiléen ? 1.2. Définir le référentiel terrestre. Citer une expérience historique qui a permis de mettre en évidence le caractère non galiléen de ce référentiel. Justifier que dans notre étude, ce référentiel peut être considéré galiléen. 1.3. On suppose dans cette question qu'il n'y a aucun frottement. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par l'angle . Donner dans ce cas la loi horaire ( ) t  du mouvement de la barre et exprimer la pulsation 0  caractérisant le mouvement du pendule de torsion en fonction des données. 1.4. On tient compte maintenant des frottements sur les masses et on les modélise par une force F v   s'exerçant sur chaque masse m , où v est la vitesse de l'une des masses et  est une constante positive. On néglige cependant les frottements s'exerçant sur la tige. 1.4.1. Quelle est l’origine physique des frottements s'exerçant sur chaque masse ? 1.4.2. En appliquant le théorème du moment cinétique au pendule, montrer que l'équation différentielle du mouvement de l'ensemble {masses+tige} est de la forme : 2 2 0 d d dt dt        . Exprimer  et  et donner leur dimension. 1.4.3. Montrer que la solution de cette équation différentielle peut se mettre sous la forme : ( ) ( ).exp( / ) t g t t     où  est une constante que l'on exprimera en fonction des données. Sans chercher à expliciter la fonction ( ) g t , décrire brièvement les différents régimes du mouvement du pendule. 1.4.4. A quelle(s) condition(s) sur  aura-t-on 1 2 ( ) cos( ) sin( ) g t c t c t     ? Exprimer alors les constantes 1 c , 2 c et  en fonction des données. On suppose cette condition vérifiée dans la suite. 1.4.5. A quelle condition sur  l’erreur relative introduite par l’approximation 0    est-elle inférieure à 1% ? 1.4.6. Tracer la représentation graphique de ( ) t  en fonction du temps, les courbes enveloppes et la tangente à l'origine de l’enveloppe. 1.4.7. On appelle décrément logarithmique  la quantité ( ) ln ( ) t t nT            , où 2 T    est la pseudo-période. Exprimer  en fonction de T , n et . 1.5. Le pendule de torsion oscille de 2 pseudo-périodes pendant 32 s. L'amplitude des oscillations est réduite d'un facteur 3 au bout de 10 oscillations. On prendra pour cette question 2 5 2 2 2,6.10 . ml kg m   et 20 l cm  . Calculer numériquement à partir de ces valeurs : (i) la pseudo-période T ; (ii) le décrément logarithmique  ; (iii)la constante de temps  ; (iv) la pseudo-pulsation  et la pulsation propre 0  ; (v) la constante de raideur du fil de torsion C . 2. Application : mesure de la constante de gravitation Concours National Commun – Session 2014 – Filière TSI Epreuve de Physique I 3/7 L’interaction de gravitation est l’une des quatre interactions fondamentales de la physique responsables de tous les phénomènes observés dans l'univers. Elle fut introduite en 1687 pour interpréter le mouvement des planètes, le mouvement de la Lune et le mouvement des corps dans le voisinage de la Terre. 2.1. Enoncer la loi de la gravitation universelle. Quel physicien est à l’origine de cette loi ? 2.2. Quelles sont les trois autres interactions fondamentales de la physique ? 2.3. Parmi toutes ces interactions, quelles sont celles existant à l’échelle d’un noyau atomique ? Pour mesurer la constante de gravitation G , Henry Cavendish utilise, en 1798, une balance de torsion (figure 1.2) identique au pendule décrit dans la partie 1. La tige est suspendue à un fil de torsion de même nature que celui étudié dans la partie précédente et de constante de torsion ' C . Les deux masses du pendule de torsion peuvent être soumise à l'attraction de deux grosses boules fixes   1 B et   2 B identiques de même masse M dans les centres respectifs 1 B et 2 B sont situés dans le plan horizontal de la tige  T d'extrémités 1 A et 2 A . En l'absence des boules   1 B et   2 B , la tige   1 2 A A occupe une position d'équilibre telle que la torsion du fil soit nulle. On ramène les deux boules dans deux positions symétriques par rapport au milieu O de la tige  T telles que les directions   1 1 A B et   2 2 A B soient perpendiculaires à la direction de la tige  T au repos et que 1 1 2 2 A B A B d   . Les interactions gravitationnelles entres les boules   1 B et   2 B et les petites sphères rompent l'équilibre initial du pendule. La tige tourne alors d'un angle  très faible mais mesurable tordant l'extrémité O du fil du même angle. Afin de mesurer l'angle , on colle un petit miroir plan en O sur le fil de torsion. On l'éclaire ensuite à l'aide d'une lanterne. Le miroir réfléchit le faisceau lumineux incident et donne un spot lumineux sur une règle graduée. En l'absence de torsion du fil, ce spot coïncide avec le zéro de la règle située à la distance D du fil de torsion. En présence de torsion du fil d'angle , le spot se déplace sur la règle de la longueur 8,89 a mm  . On négligera l'action de chaque grosse boule sur la petite sphère la plus éloignée. 2.4. Donner l'expression de la force gravitationnelle 1 1 B A F  exercée par la boule   1 B sur la petite sphère   1 A et 2 2 B A F  exercée par la boule   2 B sur la petite sphère   2 A . En déduire le couple '  exercé sur l’ensemble {tige  T + masses m } par les interactions de gravitation. 2.5. Ecrire la condition d'équilibre de la tige  T . En déduire la relation donnant la constante de gravitation G en fonction de M , m , d , l , ' C et . 2.6. Exprimer littéralement l'angle  en fonction de a et D . Calculer sa valeur numérique uploads/Geographie/ e-ph1tsi2014.pdf