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Cours de mathématiques ECT 2ème année Chapitre 8 Variables aléatoires à densité

Cours de mathématiques ECT 2ème année Chapitre 8 Variables aléatoires à densité Adrien Fontaine Année scolaire 2018–2019 Cours de mathématiques ECT2 1. RAPPELS SUR LA FONCTION DE RÉPARTITION Déﬁnition 1 : Soit X une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X la fonc- tion FX déﬁnie par : ∀x ∈R, FX(x) = P(X É x) Proposition 1 : Soit X une variable aléatoire discrète déﬁnie sur (Ω,T ,P). On note X(Ω) = {x1 ; x2;···} avec x1 < x2 < ···. Alors : FX(x) =    0 si x < x1 P(X = x1)+··· +P(X = xk) si xk É x < xk+1 1 si x Ê maxi∈N xi . En particulier, FX est constante sur [xk;xk+1[. Exemple : Un sac contient 5 jetons numérotés de 1 à 5. Pour jouer une partie, on doit miser 1 e. On tire au hasard un jeton. Si on a le numéro 1, on gagne 4 e, si on a un numéro pair on reçoit 2 e et rien sinon. On note X le gain (algébrique). X est une variable aléatoire et X(Ω) = {−1;1;3}. La loi de la variable aléatoire X est donnée par : P(X = −1) = 2 5 , P(X = 1) = 2 5 , P(X = 3) = 1 5 . Ce que l’on peut résumer par le tableau suivant : x −1 1 3 Total P(X = x) 2 5 2 5 1 5 1 Dès lors, • Si x < −1, alors FX(x) = 0. • Si −1 É x < 1, alors FX(x) = P(X = −1) = 2 5. • Si 1 É x < 3, alors FX(x) = P(X = −1)+P(X = 1) = 2 5 + 2 5 = 4 5. • Si x Ê 3, alors FX(x) = 1. Ce que l’on peut résumer par FX(x) =          0 si x < −1 2 5 si −1 É x < 1 4 5 si 1 É x < 3 1 si x Ê 3 . −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 Cours de mathématiques ECT2 2. GÉNÉRALITÉS 2.1. Notion de variable aléatoire à densité Déﬁnition 2 : Soit X une variable aléatoire et FX sa fonction de répartition. On dit que X est une variable aléatoire à densité si, et seulement si, il existe une fonction f vériﬁant les quatre conditions suivantes : • Pour tout x de R, f (x) Ê 0; • f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre ﬁni de réels; • L’intégrale Z+∞ −∞ f (t)dt converge et on a : Z+∞ −∞ f (t)dt = 1; • Pour tout x de R, FX(x) = Zx −∞ f (t)dt. Lorsque les conditions précédentes sont vériﬁées, f est appelée densité de X. Déﬁnition 3 : Une fonction f est une densité de probabilité (ou plus simplement densité) si, et seulement si : • Pour tout x de R, f (x) Ê 0; • f est continue par morceaux avec un nombre ﬁni de points de discontinuité; • L’intégrale Z+∞ −∞ f (t)dt converge et on a : Z+∞ −∞ f (t)dt = 1. Exemple : On considère la fonction f suivante : f : R → R x 7→ ex (1+ex)2 La fonction f est une densité de probabilité. • Pour tout x de R, ex > 0 et (1+ex)2 > 0. Et donc, f (x) > 0. • La fonction f est continue sur R comme quotient de fonctions continues sur R. • Soit M Ê 0. Calculons : ZM 0 ex (1+ex)2 dx La fonction x 7→ ex (1+ex)2 est de la forme −u′ u2 avec u(x) = 1+ex. Par ailleurs, −u′(x) u(x)2 = −ex (1+ex)2 Donc, une primitive est donnée par : − 1 u(x) = −1 1+ex Dès lors, ZM 0 ex (1+ex)2 dx = h−1 ex iM 0 = 1 2 −1 eM Enﬁn, lim M→+∞ 1 2 −1 eM = 1 3 Cours de mathématiques ECT2 Donc, l’intégrale Z+∞ 0 ex (1+ex)2 dx converge et : Z+∞ 0 ex (1+ex)2 dx = 1 2 De même, pour m É 0 : Z0 m ex (1+ex)2 dx = h−1 ex i0 m = 1 1+em −1 2 Et lim m→−∞ 1 1+em −1 2 = 1−1 2 Donc, l’intégrale Z0 −∞ ex (1+ex)2 dx converge et : Z0 −∞ ex (1+ex)2 dx = 1 2 Bref, l’intégrale Z+∞ −∞ ex (1+ex)2 dx converge et : Z+∞ −∞ ex (1+ex)2 dx = Z0 −∞ ex (1+ex)2 dx + Z+∞ 0 ex (1+ex)2 dx = 1 2 + 1 2 = 1 La fonction f vériﬁe donc bien les trois points de la déﬁnition ci-dessus. Donc, f est bien une densité de probabilité. Théorème 1 : Si X est une variable aléatoire à densité, de fonction de répartition FX et de densité f , alors, en chaque réel x où f est continue, on a : f (x) = F′ X(x). Théorème 2 : Si X est une variable à densité de densité, de fonction de répartition FX, alors toute fonction f à valeurs positives qui vériﬁe f (x) = F′ X(x) (sauf éventuellement en un nombre ﬁni de points) est une densité de X. Exemple : Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition FX(x) = ½ 0 si x < 1 1−1 x si x Ê 1 . On admet que X est une variable aléatoire à densité. Déterminer une densité de X. La fonction FX est dérivable sur R\{1} et pour tout x ∈R : F′ X(x) =    0 si x < 1 1 x2 si x > 1 Donc, une densité de f est donnée par : f (x) =    0 si x < 1 1 x2 si x Ê 1 Remarque : Il n’y a pas unicité d’une densité pour une variable à densité donnée. En effet, si f est une densité de X, alors toute fonction g positive, égale à f , sauf en un nombre ﬁni de points, est également une densité de X. 4 Cours de mathématiques ECT2 2.2. Calculs de probabilités avec des variables aléatoires à densité Proposition 2 : Soit X une variable aléatoire à densité, FX sa fonction de répartition et fX une densité de X. Soient a et b deux réels avec a < b. On rappelle que P(X É a) = FX(a) = Za −∞ f (t)dt. Alors : • P(X < a) = P(X É a) = FX(a) = Za −∞ fX(t)dt • P(X = a) = 0 • P(X Ê a) = P(X > a) = 1−FX(a) = Z+∞ a fX(t)dt • P(a < X < b) = P(a É X < b) = P(a < X É b) = P(a É X É b) = FX(b)−FX(a) = Zb a fX(t)dt Exemple : 1. Soit X une variable aléatoire, de fonction de répartition FX(x) = ½ 0 si x < 2 1−8 x3 si x Ê 2 . On admet que X est une variable aléatoire à densité. Calculer P(X Ê 0), P(−1 É X < 3) et P(X < 4). D’après la proposition ci-dessus, on a : P(X Ê 0) = 1−FX(0) = 1−0 = 1 P(−1 É X < 3) = FX(3)−FX(−1) = 1−8 33 −0 = 1−8 27 = 19 27 P(X < 4) = FX(4) = 1−8 43 = 1−8 64 = 1−1 8 = 7 8 2. Soit X une variable aléatoire à densité, de densité fX(t) = ½ 0 si t É 0 e−t si t > 0 . Calculer P(X É 2), P(2 < X É 3) et P(X Ê 1). D’après la proposition ci-dessus, on a : P(X É 2) = Z2 −∞ fX(t)dt = Z2 0 e−t dt car fX(t) = 0 si t É 0 P(2 < X É 3) = Z3 2 fX(t)dt = Z3 2 e−t dt P(X Ê 1) = Z+∞ 1 fX(t)dt = Z+∞ 1 e−t dt Une primitive de e−t est donnée par −e−t, donc : P(X É 2) = Z2 0 e−t dt = h −e−ti2 0 = 1−e−2 P(2 < X É 3) = Z3 2 e−t dt = h −e−ti3 2 = e−2 −e−3 5 Cours de mathématiques ECT2 Enﬁn, soit M Ê 1. On a : ZM 1 e−t dt = h −e−tiM 1 = e−1 −e−M Or, lim M→+∞e−1 −e−M = e−1 Donc, P(X Ê 1) = Z+∞ 1 e−t dt = e−1 2.3. Espérance d’une variable à densité Déﬁnition 4 : Sous réserve de convergence de l’intégrale écrite, l’espérance de X est le réel, noté E(X), déﬁni par : E(X) = Z+∞ −∞ t f (t)dt Exemple : Soit X une variable aléatoire de densité f (t) = ½ 0 si t É 0 e−t si t > 0 X admet-elle une espérance? Si uploads/Geographie/ ect2-cours-chapitre-8.pdf