Chapitre 6 Les équations de Maxwell dans les milieux Nous allons dans ce chapit

Chapitre 6 Les équations de Maxwell dans les milieux Nous allons dans ce chapitre utiliser les équations de maxwell dans les milieux matériels pour étudier la propagation d’une onde d’une onde électromagnétique dans un milieu isolant. 6.1 Propriétés électromagnétiques des milieux maté- riels 6.1.1 Polarisation d’un milieu matériel Dipôles induits Un atome est un objet électriquement neutre. Il est classiquement représenté par un noyau composé de Z protons et donc porteur d’une charge +Zqe et d’un nuage de Z électrons porteur d’une charge −Zqe. En l’absence de champ extérieur, les centres de masse ⃗ rp du noyau et ⃗ re du nuage électronique sont confondus : ⃗ rp = ⃗ re (figure ci-dessous). En l’absence de champ extérieur, les centres de masse des charges positives (le noyau atomique) et des charges négatives (le nuage électronique)sont confondus (a). En présence d’un champ électrique externe ⃗ E, la force électrique déplace les centres de masse dans des directions opposées. Le champ crée un dipôle électrostatique interne à l’atome (b). 164 Chap. 7. Ondes électromagnétiques et matière 7.3 POLARISATION D’UN MILIEU MATÉRIEL 7.3.1 Polarisation microscopique Un atome est un objet électriquement neutre. Il est classiquement représenté par un noyau composé de Z protons et donc porteur d’une charge +Zqe et d’un nuage de Z électrons porteur d’une charge −Zqe. En l’absence de champ extérieur, les centres de masse du noyau 6 rp et du nuage électronique 6 re sont confondus : 6 rp = 6 re (figure 7.3). De plus, le nuage électronique est représenté par une sphère de rayon r0. nuage électronique (négatif) noyau (positif) noyau 6 E centre de masse du nuage (a) (b) + - + - Figure 7.3 En l’absence de champ extérieur, les centres de masse des charges positives (le noyau atomique) et des charges négatives (le nuage électronique) sont confondus (a). En présence d’un champ électrique externe 6 E, la force électrique déplace les centres de masse dans des directions opposées. Le champ crée un dipôle électrostatique interne à l’atome (b). En présence d’un champ électrique 6 E que l’on suppose constant, le noyau et le nuage électronique subissent des forces électriques opposées. Il en résulte un écart entre les centres de masse et donc la création d’un dipôle : les charges +Nqe et −Nqe sont séparées d’une petite distance 6 d. Il en résulte une polarisation atomique, également appelée polarisation microscopique. Chaque atome placé dans le champ 6 E porte un Figure 6.1: Polarisation microscopique induite par un champ électrique En présence d’un champ électrique ⃗ E que l’on suppose constant, le noyau et le nuage électronique subissent des forces électriques opposées. Il en résulte un écart entre les H. Djelouah 64 Les équations de Maxwell dans les milieux centres de masse et donc la création d’un dipôle : les charges +Nqe et −Nqe sont séparées d’une petite distance ⃗ δ. Il en résulte une polarisation atomique, également appelée pola- risation microscopique. Chaque atome placé dans le champ ⃗ E porte un moment dipolaire ⃗ p = Zqe ⃗ δ = αε0 ⃗ E (6.1) où α = 4πr3 0 est la polarisabilité électronique de l’atome. Cette quantité ne dépend pas du nombre d’électrons mais de la taille r0 de l’atome . Dipôles permanents Certaines molécules ont une distribution de charges asymétrique, même dans leur état fondamental (HCl,H2O,...). Elles ont un moment dipolaire permanent même en l’absence de champ électrique extérieur. Mais elles se déplacent et tournent librement sous l’effet de l’agitation thermique, de sorte qu’elles ne privilégient aucune direction et, qu’en moyenne, le moment dipolaire de l’échantillon est nul. Si l’on applique un champ électrique, les dipôles locaux ont tendance à s’orienter dans la direction du champ. Sous l’effet combiné des forces électriques et de l’agitation thermique, l’orientation des dipôles reste cependant partielle ( elle augmente lorsque le champ augmente ou lorsque la température diminue) ; il apparaît un moment dipolaire macroscopique, donc une polarisation, fonction croissante du champ. En première approximation, la relation entre ⃗ P et ⃗ E est linéaire. Autres types de matériaux Dans les matériaux ferro-électriques, les interactions entre les dipôles moléculaires permanents peuvent être si importantes qu’elles provoquent (à basse température) une orientation spontanée de ces dipôles, même en l’absence de champ. Il existe également des matériaux où les mécanismes de polarisation sont encore plus compliqués. Par exemple, dans les piézo-électriques, la polarisation dépend explicitement des tensions mécaniques à l’intérieur du matériau et peut être induite par une déformation mécanique, même en l’absence de champ. Diélectriques Un diélectrique est un milieu matériel – qui ne conduit pas le courant électrique, c’est-à-dire dans lequel il n’y a pas intrinsè- quement de charges électriques susceptibles de se déplacer de façon macroscopique, – qui est capable de se polariser sous l’application d’un champ électrique. Polarisation macroscopique Dans un milieu matériel composé d’un grand nombre d’atomes (ou de molécules) et soumis à un champ électrique externe, on observe d’une part l’apparition d’un grand nombre de dipôles électriquement induits et d’autre part l’orientation des dipôles perma- nents dans la direction du champ électrique. Chacun de ces dipôles contribue à la création d’un champ électrique de polarisation. Le nombre de dipôles par unité de volume définit le vecteur polarisation ⃗ P. En régime linaire on admet que le vecteur polarisation ⃗ P est proportionnel au champ électrique inducteur ⃗ E ; ce qui s’exprime par la relation suivante : ⃗ P = ε0χe ⃗ E (6.2) H. Djelouah 6.1 Propriétés électromagnétiques des milieux matériels 65 Le paramètre χe est la susceptibilité diélectrique du matériau. C’est un nombre positif sans dimension qui décrit la réaction macroscopique du milieu matériel. On considère que la charge électrique totale ρT est la somme des charges ne dépendant pas de l’état de polarisation de la matière appelées charges libres et des charges résultant de la polarisation appelées charges induites. Ces deux types de charges s’expriment respectivement par les densités volumiques de charge ρ et ρP. On montre que les effets de la polarisation d’un diélectrique sont équivalents à la superposition de : – une densité volumique de charge ρP, répartie en volume, vérifiant l’équation ⃗ ∇· ⃗ P = −ρP (6.3) – une densité surfacique de charge σP, répartie en surface, vérifiant l’équation ⃗ P · ⃗ n = σP (6.4) Ces charges sont appelées charges de polarisation. Sachant que : ρT = ρ + ρP. (6.5) le théorème de Gauss s’écrit : ⃗ ∇· ⃗ E = ρ ε0 = ρT ε0 = ρ + ρP ε0 = ρ −⃗ ∇· ⃗ P ε0 (6.6) On définit le champ électrique induit ⃗ Epol lié à la polarisation macroscopique ⃗ P et au champ externe ⃗ E par : ⃗ Epol = 1 ε0 ⃗ P = χe ⃗ E (6.7) D’où ⃗ ∇·  ⃗ E + ⃗ Epol  = ρ ε0 (6.8) Le théorème de Gauss dans une surface contenant le milieu matériel polarisé s’écrit : ⃗ ∇·  ⃗ E + ⃗ Epol  = ρ ε0 (6.9) qui peut également se mettre sous la forme : ⃗ ∇· h (1 + χe) ε0 ⃗ E i = ρ (6.10) La densité de charge à prendre en compte dans cette équation est la densité de charges libres ρ. La permittivité relative εr est définie par εr = 1 + χe. Le produit ε = ε0εr est appelée permittivité absolue du milieu. On obtient finalement le théorème de Gauss pour le champ électrique ⃗ E ⃗ ∇·  ε ⃗ E  = ρ (6.11) Cette relation constitue le théorème de Gauss pour un champ électrique en présence d’un milieu matériel de permittivité relative εr , en présence de charges libres ρ. La permittivité relative εr est un nombre sans dimension qui vaut 1 dans le vide, et est H. Djelouah 66 Les équations de Maxwell dans les milieux supérieure à 1 dans un milieu matériel. La permittivité relative des matériaux dépend principalement du nombre de dipôles induits par unité de volume (la densité numérique mesurée en m−3), mais également des interactions entre ces dipôles. De plus, la présence d’un dipôle permanent porté par un atome ou une molécule influence la permittivité relative. Ainsi la permittivité des gaz est très proche de l’unité, tandis que la permittivité des liquides peut atteindre plusieurs dizaines. Quelques valeurs sont proposées dans le tableau ci-dessous. phase fluide εr gaz air 1.00054 O2 1.00049 CO2 1.00092 CH4 1.00081 C4H10 1.00258 liquide eau 78 trichloroéthylène 3.42 éthanol 24.3 glycérol 42.5 Table 6.1: Quelques valeurs de permittivités relatives εr pour des gaz et des liquides. En régime sinusoïdal, la susceptibilité électrique et la permittivité relative sont des fonctions complexes de la pulsation de l’onde électrique appliquée au milieu. Dans les domaines d’application des diélectriques, il est courant d’écrire la permittivité relative sous la forme : εr = ε′ r + iε′′ r = ε′ r + iε′ r tan θP (6.12) La quantité ε′ r tan θP est appelée le facteur de perte car il caractérise l’aptitude du milieu matériel à absorber l’énergie électromagnétique, en uploads/Geographie/ electromagnetisme-cours-exercice-corrige.pdf

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