Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques D’Oran 2eme année Devoir Surveillé

Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques D’Oran 2eme année Devoir Surveillé, Analyse Numérique 02 28/04/2012 (La dur ee : 02h : 00) Documents ; Téléphone ; non autorisés N.B : a chaque utilisation d’un théorème ou d’autre résultat du cours, rappeler soigneusement (et véri…er) les hypothèses sous lesquelles il peut s’appliquer, faute de quoi la conclusion n’a pas de valeur. Exercice 1:(7pts) (Interpolation polynomiale) Le but de cet exercice est de trouver le polynôme interpolant les quatre points: (x0 = 1; y0 = 10) ; (x1 = 2; y1 = 26) ; (x2 = 3; y2 = 58) ; (x3 = 4; y3 = 112) : (1) Ce polynôme s’écrit: P3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3: (2) Il s’agit de trouver a = (a0; a1; a2; a3)t: 1. Donnez la formulation matricielle du problème d’interpolation (P(xi) = yi; i = 0; :::; 3) sous la forme V a = y; (3) oû V est la matrice de Vandermonde du problème d’interpolation. 2. On considère maintenant la formulation suivante du polynôme: Q (x) = c0 + c1 (x x0) + c2 (x x0) (x x1) + c3 (x x0) (x x1) (x x2) : Calculez les coe¢cients c0; c1; c2; c3 pour que le polynôme Q(x) (encore appelé polynôme de Newton) soit interpolant: Q(xi) = yi; i = 0; :::; 3: 3. On considère la suite de polynômes:  R4(x) = c3 Rk(x) = ck1 + (x xk1)Rk+1(x); k = 3; :::; 1 (4) a) Si l’on représente les polynômes Rk(x) à l’aide de coe¢cients bki tels que: Rk(x) = bk;0 + bk;1x + bk;2x2 + ::: + bk;4kx4k = 4k X i=0 bk;ixi (5) Calculez les polynômes R4; R3; R2 et R1 (et les coe¢cients bk;i) avec les données du problème d’interpolation. b) Montrez que R1(x) = Q(x); puisque Q(x) = P(x); résoudre l’équation (3) par une méthode directe. Exercice 2:(3pts) (Interpolation polynomiale) Le tableau suivant présente la conductivité thermique de la vapeur d’acétone en fonction de la température: T(F) 32 115 212 363 k(Btu=hr ft F) 0:0057 0:0074 0:0099 0:0147 (6) (a) Estimer la conductivité thermique de l’acétone à 300 F en utilisant le polynôme de Lagrange de degré 2 passant par les 3 derniers points du tableau. (b) Estimer la température en F qui correspond à la conductivité thermique k = 0.008 Btu=hr ft F en utilisant un polynôme de Lagrange de degré 2 passant par les 3 derniers points du tableau. 1 Exercice 3:(4pts) (Intégrations numériques) On pose a = 0; b = 1 et f(x) = x5 3x2 + x 1 a) Estimer l’erreur commise en calculant I = Z b a f(x)dx; par la formule de Simpson composée avec h = 1 4: b) Combien de nœuds d’intégration faudrait-il utiliser pour réduire l’erreur commise en (a) d’un facteur au moins 10? Exercice 4:(6pts) (Intégrations numériques) Calculer, si l’on pose h = 0:5; l’intérgale: Z 1 1 p 2 + xdx 1. Selon la formule des trapèzes. 2. Selon la formule de Gauss. 3. Estimer les résultats obtenus (E¤ectuer les calculs avec 5 décimales exactes). ————————————————————————————————————————————— N:B : La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Kh. ZENNIR et S. BENAMMAR BON COURAGE 2 uploads/Geographie/ epst-ds2-20112012.pdf

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