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Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2015-2016 Devoir de Synthèse N°1 4ème

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2015-2016 Devoir de Synthèse N°1 4ème M 3 Heures 1/3 www.mathsplus.tk Exercice 1 (6 points)  Soit ABC un triangle équilatéral tel que    , [2 ] 3 AB AC        On désigne par D le symétrique de C par rapport à   AB et par J le milieu de   BC et par K le milieu de   BD . 1) a) Montrer qu’il existe un unique déplacement f tel que   f C B  et   f B D  . b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f. 2) Soit   C le cercle de centre B et passant par A. Soit M un point du cercle   C et ' M son image par f . a) Montrer que si M décrit le cercle   C alors ' M décrit un cercle   C ' qu’on précisera. b) Soit I le deuxième point d’intersection des cercles   C et   C ' . Montrer que si M est différent de A , les points , et ' I M M sont alignés. 3) Soit g l’antidéplacement défini par   g C B  et   g B D  a) Montrer que g est une symétrie glissante. Préciser son axe et son vecteur. b) Vérifier que   BD g S f   . c) Déterminer l’ensemble des points N du plan tels que     g N f N  . Exercice 2 (6 points) On considère dans  l’équation   2 2 2 : (e 1) 0 i i E iz e z i        ; 0, 2         1) Vérifier que 2 1 2cos 2 i i e e           2) On note 1 z et 2 z les solutions de l’équation   E  . Sans calculer 1 z et 2 z a) Montrer que 1 2 arg( ) arg( ) [2 ] z z     b) Montrer que 1 2 1 1 arg [2 ] 2 z z             c) Déterminer la valeur de  pour laquelle 1 2 1 z z   3) a) Calculer   2 2 2 i e  . b) Résoudre dans  l’équation   E  . 4) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  ( O ,u ,v ) . On considère les points N et M d’affixes respectives N z i  et   2 1 i M z i e    . a) Ecrire M z sous forme exponentielle. b) Déterminer la valeur de  pour laquelle le triangle ONM soit isocèle en O. 5) Déterminer et construire l’ensemble des points M lorsque  varie dans 0, 2       . Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2015-2016 Devoir de Synthèse N°1 4ème M 3 Heures 2/3 www.mathsplus.tk Exercice 3 (8 points) Dans l’annexe ci-jointe est représentée dans un repère orthonormé ( , , ) O i j   , la courbe ( ) C d’une fonction f définie sur   1,2 . 1) Par une lecture graphique a) Déterminer 2 ( ) lim 2 x f x x    b) Dresser le tableau de variation de f et montrer que f réalise une bijection de   1,2 sur   0,. c) Montrer que 1 f  est dérivable à droite en 0 et tracer sur le même repère la courbe ( ) / C de 1 f . 2) La fonction f est définie sur   1,2 par 2 2 ( ) 1 x x f x x    a) Montrer que l’équation ( ) f x x  admet dans   1,2 une solution unique et vérifier que 3 ,2 2        b) Montrer que   0, x   ,   1 2 1 1 1 f x x    c) Montrer que   1,2 x  ,    / 1 2 2 f x   3) Soit la suite ( ) n U définie sur  par   0 1 1 1 n n U U f U          a) Montrer que n  , 1 2 n U   . b) Montrer que, pour tout entier naturel n on a : 1 2 2 n n U U      . c) En déduire pour tout entier naturel n on a : 2 2 n n U         . d) Déterminer alors la limite de ( ) n U . 4) Soit g la fonction définie sur 0, 4        par   1 1 ( ) si 0, 4 tan(2 ) 1 4 g x x f x g                          a) Montrer que 0, 4 x        ,     1 1 cos 2 g x x   b) Montrer que g réalise une bijection de 0, 4        sur 1 ,1 2      . c) Montrer que 1 g  est dérivable sur 1 ,1 2       et que    / 1 1 2 2 1 g x x x    . Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2015-2016 Devoir de Synthèse N°1 4ème M 3 Heures 3/3 www.mathsplus.tk Annexe à rendre avec la copie Exercice 1 Exercice 3 -1 1 2 3 4 5 6 O i -1 1 2 3 j uploads/Geographie/ 4-m-s-1-15-16.pdf