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Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés Seconde É non é Exercice 1 S

Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés Seconde É non é Exercice 1 Seconde/Espace/exo-016/texte ABCDEFGH est un cube de 4 m de côté. I et J sont les milieux respectifs des segments [BF] et [AB]. A B E F C D G H I J 1. Que peut-on dire des droites (IJ) et (AF) ? des longueurs IJ et AF ? Justiﬁer. 2. Trois fourmis se déplacent sur le cube aﬁn d’eﬀectuer le trajet de A vers G suivant les modalités suivantes : no 1 : AI + IF + FG ; no 2 : AF + FG ; no 3 : AJ + JI + IG. Calculer la distance exacte parcourue par chacune des fourmis puis en donner une valeur approchée arrondie au centimètre près. On veillera à ne calculer que ce qui est nécessaire. Par exemple, on pourra remarquer que AI = IG et ainsi faire l’économie du calcul de IG. 3. a) Réaliser un patron du cube à l’échelle 1 /200e. b) En déduire la longueur du trajet le plus court pour aller de A à G. Exercice 2 Seconde/Espace/exo-049/texte Une bobine de ﬁl 1 est enroulée autour de l’assemblage en bois d’un cylindre surmonté de deux troncs de cône identiques (ﬁgure b). Les troncs de cône sont obtenus en « coupant » un cône de génératrice SF = 13,5 cm par un plan parallèle à sa base (ﬁgure a). 1. Démontrer que SO = 8,1 cm. 2. Calculer l’arrondi au degré de la mesure de l’angle ’ OSF. 3. Calculer le volume V1, en cm3, du cône 1 de sommet S et de base le disque de rayon [OF]. On donnera un résultat exact en fonction de π. 4. a) En remarquant que (IE) est parallèle à (OF), montrer que IE = 4,8 cm. b) En déduire le volume V2, en cm3, du cône 2 de sommet S et de base le disque de rayon [IE]. On donnera un résultat exact en fonction de π. 5. Montrer que le volume exact du tronc de cône est V = 287,28π cm3. En déduire, au cm3 près, le volume de bois nécessaire à la réalisation d’une bobine. 1. D’après une idée originale de Sésamath Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés Seconde Exercice 3 Seconde/Espace/exo-050/texte Sur la ﬁgure ci-contre, on a représenté en perspective cavalière une pyramide à base carrée SABCD de hauteur [SA]. Le triangle SAB est rectangle en A, AB = 9 cm et SA = 12 cm. EFGH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à la base et telle que SE = 4 cm 1. Donner la liste des segments qui devraient être représentés en pointillés sur la ﬁgure. 2. a) Calculer SB. b) Démontrer que EF = 3 cm. 3. Calculer le volume du tronc de pyramide ABCDEFGH. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par V = 1 3 × B × h où B et h désignent respectivement l’aire de la base et la hauteur de la pyramide. A B C D S E F G H Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés Seconde Corrigé Exercice 1 Seconde/Espace/exo-016/corrige 1. Théorème de la droite des milieux : Si un segment a pour extrémités les milieux de deux des trois côtés d’un triangle alors il est parallèle au troisième côté et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté. Dans le triangle ABF, I est le milieu de [BF] et J le milieu de [AB] donc les droites (IJ) et (AF) sont parallèles et IJ = AF 2 . 2. En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles ABI et ABF tous deux rectangles en B, il vient : AI2 = AB2 + BI2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 AF 2 = AB2 + BF 2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 Comme AI ⩾0, on a AI = √ 20 soit encore AI = 2 √ 5 . Comme AF ⩾0, on a AF = √ 32 soit encore AF = 4 √ 2 . Par ailleurs, IJ = AF 2 donc IJ = 2 √ 2 . • Longueur du trajet de la fourmi no 1 : AI + IF + FG = 2 √ 5 + 2 + 4 = 2 √ 5 + 6 ≈10,47 soit environ 10,47 m à 1 cm près. • Longueur du trajet de la fourmi no 2 : AF + FG = 4 √ 2 + 4 ≈9,66 soit environ 9,66 m à 1 cm près. • Longueur du trajet de la fourmi no 3 : AJ + JI + IG = 2 + 2 √ 2 + 2 √ 5 ≈9,30 soit environ 9,30 m à 1 cm près. 3. a) Le patron est à l’échelle 1 /200e si, et seulement si, chaque arête du cube mesure 2 cm sur celui-ci. A B E F C D G H I J b) En réalisant le patron, on constate que le trajet le plus court (ligne droite) pour aller de A à G est le trajet « A−I −G » de longueur AI + IG. AI + IG = 2 √ 5 + 2 √ 5 = 4 √ 5 ≈8,94 soit environ 8,94 m à 1 cm près. Exercice 2 Seconde/Espace/exo-049/corrige 1. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle SOF rectangle en O, on obtient : Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés Seconde SO2 = SF 2 −OF 2 = 13,52 −10,82 = 182,25 −116,64 = 65,61 Or, SO ⩾0 donc SO = √65,61 = 8,1. Conclusion : SO = 8,1 cm. 2. Dans le triangle SOF rectangle en O : sin ’ OSF = OF SF = 10,8 13,5 = 0,8 donc ’ OSF = arcsin 0,8 et, à l’aide de la calculatrice, on obtient ’ OSF ≈53◦(à 1◦près). 3. V1 = 1 3 × π × OF 2 × OS = 1 3 × π × 10,82 × 8,1 = 314,928π Conclusion : V1 = 314,928π cm3 4. a) (IE) est parallèle à (OF) car ces droites sont toutes deux parallèles à (OS). Par ailleurs, les droites (IO) et (EF) sont sécantes en S donc, d’après le théorème de Thalès : SI SO = SE SF = IE OF L’égalité entre le premier et le troisième rapport permet d’obtenir : IE = OF × SI SO = 10,8 × (8,1 −4,5) 8,1 = 4,8 Conclusion : IE = 4,8 cm. b) V2 = 1 3 × π × IE2 × SI = 1 3 × π × 4,82 × (8,1 −4,5) = 27,648π Conclusion : V2 = 27,648π cm3 5. V = V1 −V2 = 314,928π −27,648π = 287,28π Conclusion : Le volume exact du tronc de cône est V = 287,28π cm3. La bobine est constituée de deux troncs de cône identiques et d’un cylindre de hauteur 10 cm et de base le disque de rayon [IE]. Le volume de bois nécessaire à la réalisation d’une bobine est donc donné, en cm3, par : Vb = 2 × V + π × IE2 × 10 = 2 × 287,28π + 230,4π = 804,96π donc Vb ≈2529 cm3 (à 1 cm3 près). Exercice 3 Seconde/Espace/exo-050/corrige 1. Les segments qui devraient être représentés en pointillés sur la ﬁgure sont [DA], [DC], [DS], [EH] et [HG]. A B C D S E F G H Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés Seconde 2. a) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle SAB, rectangle en A, on obtient : SB2 = SA2 + AB2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 Or, SB ⩾0 donc SB = √ 225 = 15. Conclusion : SB = 15 cm. b) Les droites (EF) et (AB) sont parallèles et les droites (AE) et (BF) sont sécantes en S donc, d’après le théorème de Thalès : SE SA = SF SB = EF AB L’égalité entre le premier et le troisième rapport permet d’obtenir : EF = AB × SE SA = 9 × 4 12 = 3 Conclusion : EF = 3 cm. 3. Notons V le volume du tronc de pyramide ABCDEFGH. Méthode 1 : V = VSABCD −VSEF GH = 1 3 × AABCD × SA −1 3 × AEF GH × SE = 1 3 × AB2 × SA −1 3 × EF 2 × SE = 1 3 × 92 × 12 −1 3 × 32 × 4 = 324 −12 = 312 Méthode 2 : La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD et le coeﬃcient de réduction correspondant est 1 3. Ainsi : VSEF GH = Å1 3 ã4 × VSABCD = 1 27 × VSABCD donc : V = VSABCD −VSEF GH = VSABCD −1 27 × VSABCD = Å27 27 −1 27 ã × VSABCD = 26 27 × 1 3 × AABCD × SA = 26 27 × 1 3 × 92 × 12 = 312 Conclusion : Le volume du tronc de uploads/Geographie/ exercices-corriges-5 1 .pdf