1 Exercices Exercice 1. On lance un dé non pipé et on note la variable aléato
1 Exercices Exercice 1. On lance un dé non pipé et on note la variable aléatoire représentant le résultat du lancer. Calculer la moyenne et la variance associées à cette expérience. Exercice 2. Soit la variable aléatoire qui prend les valeurs 1, 2, 3 et 4 avec les probabilités 0,2 ; 0,1 ; 0,3 et 0,4. Calculer le moment centré d’ordre 2. Exercice 3. Soit une variable aléatoire normale de moyenne et d’écart-type et soient , , … , variables aléatoires indépendantes copies de la variable aléatoire modèle . On définit les variables aléatoires suivantes : = ∑ et = ∑ où est la moyenne échantillonnale de . Quelles sont les lois suivies par les variables aléatoires et . Justifier votre réponse en quelques phrases. Exercice 4. Une banque accepte de ses clients des rouleaux de pièces de 10 DH sans en contrôler le nombre (en principe 25 pièces). On suppose que 3% des rouleaux contiennent seulement 24 pièces, 96% contiennent exactement 25 pièces et 1% contiennent 26 pièces. (i) Soit la variable aléatoire qui représente le nombre de pièces d’un rouleau. Calculer () et () ; (ii) Calculer les probabilités pour que 400 rouleaux contiennent - moins de 1000 pièces ; - moins de 9990 pièces ; Exercice 5. On suppose que le temps nécessaire pour apprendre les fondements d’une langue chez les adultes est de 12 mois avec un écart-type de 2,5 mois. (i) Quelle est la proportion d’adultes capables de maitriser les fondements d’une langue en moins de 9 mois ? (ii) Déterminer le temps au dessus duquel 2% des adultes apprennent les fondements d’une langue. Exercice 6. Un petit pont en bois supporte un poids maximal de 3600 kg. Dans une population utilisant ce pont, le poids des individus est une variable aléatoire de moyenne 60 kg et d’écart-type 10 kg. Soit une variable aléatoire représentant le poids total de individus. On demande de (i) calculer la probabilité que 58 personnes puissent traverser le pont en même temps sans problèmes ; (ii) donner le nombre maximum d’individus tel que la probabilité qu’ils ne puissent pas traverser le pont est au plus 1%. Exercice 7. Quelles différences faites-vous entre l’estimateur et l’estimation ̅ de la moyenne dans la population ? 2 Exercice 8. Montrer que la moyenne échantillonnale est un estimateur non biaisé de l’espérance mathématique alors que la variance échantillonnale est un estimateur biaisé de la variance. Exercice 9. Soient , , … , variables aléatoires indépendantes copies de la variable aléatoire modèle suivant une loi de Poisson de loi de probabilité !( = ) = "#$% ! Montrer que la moyenne échantillionnale est un estimateur efficace de $. Exercice 10. Soient , , … , variables aléatoires indépendantes copies de la variable aléatoire modèle suivant une loi normale réduite de densité '( ) = 1 √2+ "(%), Montrer que la moyenne échantillonnale est un estimateur efficace de . Exercice 11. Soient , , … , variables aléatoires indépendantes copies de la variable aléatoire modèle suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0,2/] Montrer que la moyenne échantillonnale n’est pas un estimateur efficace de . Exercice 12. On souhaite estimer le poids moyen d’une population d’animaux. Deux échantillons de tailles respectives 10 et 30 sont prélevés. Dans le premier la moyenne est de 580 g et dans le second elle est de 620. On propose deux estimateurs ̂ = ̅ + 3 2 = 580 + 620 2 = 6007 ̂ = 10 ̅ + 303 40 = 10 × 580 + 30 × 620 40 = 6107 Lequel de ces deux estimateurs est meilleur ? Exercice 13. Déterminer les estimateurs par la méthode des moments des paramètres d’une loi uniforme. Exercice 14. Montrer que les estimateurs ̂;; et <;; donnés par la méthode des moments sont équivalents à ceux donnés par la méthode du maximum de vraisemblance dans le cas d’une loi normale. Exercice 15. Donnez une explication intuitive des propriétés d’un estimateur. Exercice 16. Dans lequel des cas suivants la variance de la moyenne échantillonnale de observations indépendantes d’une variable d’écart-type est-elle la plus grande ? (i) = 10 et = 100 ; (ii) = 10 et = 200 ; (iii) = 20 et = 100 ; 3 (iv) = 20 et = 200. Exercice 17. On considère la moyenne échantillonnale et la variance échantillonnale pour 20 observations indépendantes d’une variable aléatoire de loi =(5,36). Déterminer (i) ( ) ; (ii) !( ≤13,74) ; (iii) !( > 5 + 0,58). Exercice 18. Que pensez vous des propositions suivantes : (i) La longueur d’un intervalle de confiance pour la moyenne d’une variable normale dont la variance est connue et égale à 4 est exactement la même que si celle-ci était inconnue et estimée par la variance dans l’échantillon et qui est aussi égale à 4 ; (ii) Vous faites de la consultation statistique et utilisez toujours un degré de confiance de 95% dans les calculs de vos intervalles de confiance pour affirmer que le paramètre inconnu appartient à cet intervalle. Vous vous attendez à vous trompez 15 fois dans vos 300 premières affirmations. Exercice 19. Une enquête sur le prix d’un certain produit auprès de 10 magasins a donné les résultats suivants : 10DH ; 11DH ; 13DH ; 13DH ; 16DH ; 12DH ; 12DH ; 11DH ; 10DH, 12DH (i) En supposant que le prix de ce produit est une variable aléatoire normale, donner des estimations de l’espérance mathématique et de la variance. Justifier votre réponse ; (ii) Donnez un intervalle de confiance symétrique à 90% de la moyenne. (iii) Donnez un intervalle de confiance de la variance à 90%. Exercice 20. Une étude relative à la consommation de cigarettes, effectuée sur un échantillon de 100 fumeurs, a donné les résultats suivants : Consommation quotidienne (paquets) 0,5 1 1,5 2 3 Nombre de réponse 26 47 10 12 5 (i) Soit la variable aléatoire « nombre quotidien de paquets par fumeur ». Donner une estimation de la consommation moyenne ̅ de l’échantillon et donner un intervalle au taux de confiance 95% de l’espérance mathématique de ; (ii) On suppose que la variance estimée de varie peu par rapport aux différents échantillons, déterminer la taille de l’échantillon à interroger pour que le rayon (la demi- longueur de l’intervalle) de confiance au même taux 95% soit égal à 0,1. Exercice 21. On procède à des sondages avant le deuxième tour d’une élection entre deux candidats A et B. L’institut de sondage détermine deux échantillons de la population des électeurs s’exprimant pour l’un ou l’autre des deux candidats. Pour chaque échantillon on demande à chaque personne son choix. Pour le premier échantillon, sur 250 personnes, 132 ont choisit le candidat A. 4 (i) Donner une estimation du pourcentage d’électeurs ayant l’intention de voter pour le candidat 1. (ii) Déterminer alors un intervalle de confiance de ce pourcentage au risque 5% (iii) Quelle prévision peut-on faire sur le résultat de l’élection ? Pour le second échantillon, sur 2600 personnes s’exprimant, 1373 ont choisi le candidat A. Mêmes questions que (i), (ii) et (iii). Exercice 22. On effectue un sondage sur un échantillon de 400 électeurs qui recueille 212 intentions de vote en faveur d’un candidat C. (i) Donner, au risque 5%, un intervalle de confiance des intentions de vote en faveur de C dans la population tout entière ; (ii) Quelle taille minimale de l’échantillon faudrait-il prendre pour que le candidat ait 95% de chances d’être élu ? Exercice 23. Soit une variable aléatoire associée à une expérience . La fonction de densité de cette variable aléatoire est donnée par D 1 $ "% # E > 0 0 E F où $ est un paramètre positif que l’on souhaite estimer On peut montrer que () = $ et () = $ (i) Donner des estimateurs de $ et de $ ; (ii) Etudier la propriété de biais de ces estimateurs ; (iii) Donner une estimation par intervalle de confiance de $ dans le cas suivant : ̅ = 50, = 100. Exercice 24. Soit une variable aléatoire associée à une expérience . La fonction de densité de cette variable aléatoire est donnée par G$ "#% E > 0 0 E F On peut montrer que () = # et () = #, (i) Déterminer un estimateur de $ par une des deux méthodes présentée en cours ; (ii) Etudier la propriété de biais de cet estimateur (iii) Donner une estimation par intervalle de confiance de $ dans le cas suivant : ̅ = 2, = 400 et = 2. Exercice 25. Des sachets de sucre sont remplis automatiquement par une machine pour contenir 1 kg de sucre avec un écart-type théorique de 0,1 kg. (i) uploads/Geographie/ exercices-corriges-sm.pdf
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- Publié le Aoû 06, 2022
- Catégorie Geography / Geogra...
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