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ANNÉE UNIVERSITAIRE 2014/2015 STATISTIQUES & PROBABILITE 1ère Année L.F.G-LAG S

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2014/2015 STATISTIQUES & PROBABILITE 1ère Année L.F.G-LAG SÉRIE N°3 : les lois usuelles discrètes et continues Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire continue uniformément distribuée sur [a,b]⊂IR . Soit f(x) sa densité de probabilité. 1- Déterminer f(x). 2- Déterminer la fonction de répartition 3- Représenter graphiquement f(x) et F(x). 4- Déterminer E(X), V(X) et la valeur médiane de X. 5- Calculer P(α≤X≤β) Exercice 2 : Soit X une variable aléatoire normale de moyenne m et d’écart-type σ . 1- Calculer par m=13 et σ =0,1 : P (13<X<13,2), P(X<13) et P(X>13,7). 2- Soit Y N (10, σ 2 ). Déterminer σ pour que : P (7<Y<13)=0,3 3- Soit X1 N(5,2) et X2 N(20,5). Déterminer K de façon à ce que l’on ait : P(X1<10)=P(X2<K). Déterminer la loi de X1+X2, la loi de X1-X2 et la loi de α X1+ β X2 pour α et β ∈IR ¿ . Exercice 3 : 60% des étudiants ont obtenu une bonne note à l’examen. On sélectionne un échantillon de 10 étudiants. 1- Définissez la variable aléatoire X et identifier sa distribution.. 2- Déterminer la fonction de répartition. 3- Calculer les probabilités suivantes : - Les dix étudiants ont une bonne note. - Cinq étudiants ont une bonne note. - Moins de cinq étudiants ont une bonne note. - Au moins cinq étudiants ont une bonne note. 4- Calculer l’espérance mathématique et la variance. 5- Calculer l’espérance mathématique et la variance en utilisant la fonction génératrice des moments 6- Calculer la valeur médiane et la valeur modale Exercice 4: Sachant que le nombre moyen de communications téléphoniques reçues par un « standard » entre 10h et 11h est 1,8 par minute ; calculer la probabilité pour qu’entre 10h53 et 10h54, il y ait : 1. aucun appel 2. un appel 3. deux appels 4. au moins deux appels 5. plus de deux appels 6. deux, trois ou quatre appels Exercice 5 : Des études scientifiques ont montré que 15% des individus d’une population souffrent d’une maladie liée au aux changements climatiques. On tire un échantillon aléatoire composé de 100 personnes à partir de cette population. Soit alors X la variable aléatoire « nombre de personnes malades de l’échantillon choisi » 1- Déterminer la loi de X et donner sa fonction de densité ? 2- Calculer l’espérance et la variance mathématique de X. En déduire son écart- type. 3- Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun malade dans cet échantillon. Exercice 6 : Le délai de livraison d’une pièce métallique à chaine de production est une variable aléatoire X normalement distribuée d’espérance de 30 (jours) et d’écart-type 5 (jours). 1- a- Quelle la probabilité pour que le délai soit inférieur à 36 jours ? b- Quelle la probabilité pour que le délai soit supérieur à 28 jours ? c- Quelle la probabilité pour que le délai soit compris entre 24 et 36 jours ? 2- Déterminer la constante β tel que P(|X−30|≤β)=95% . 3- Déterminer la constante α tel que P( X>α )=5% . Exercice 7 : On considère une variable aléatoire X qui admet la fonction suivante: Avec x  0 et a et β> 0 1- Déterminer la valeur de β pour que f(x) soit une d.d.p 2- Calculer sa fonction de répartition F(x) ? 3- Calculer E(X) et V(X) 4- Déterminer les probabilités suivantes : P( X>3) , P(X=6) et P(5≤X≤8) uploads/Geographie/ serie3-prob2012.pdf