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Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marqu

Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)  Exercice 1 : épreuve de Bernoulli  Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre  Exercice 3 : schéma de Bernoulli d’ordre  Exercice 4 : représentation d’un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré  Exercice 5 : loi binomiale de paramètres et  Exercice 6 : coefficient binomial et nombre de chemins d’un arbre  Exercice 7 : propriétés des coefficients binomiaux et formule du triangle de Pascal  Exercice 8 : calcul de probabilité avec la loi binomiale  Exercice 9 : espérance de la loi binomiale  Exercice 10 : variance de la loi binomiale  Exercice 11 : algorithme de simulation d’une expérience aléatoire (tirage d’une boule avec remise) Probabilités – Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant le succès et la probabilité associée.  Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3.  Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.  Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée.  Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur. Rappel : Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès (notée ) et l’autre appelée échec (notée ou plus communément ).  Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « le nombre obtenu est un multiple de 3 » et pour échec l’événement « le nombre obtenu n’est pas un multiple de 3 ». Le dé cubique a pour faces les numéros 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Or, seuls les nombres 3 et 6 sont multiples de 3. Autrement dit, 2 faces parmi les 6 faces du dé affichent un multiple de 3. Comme le dé est équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est égale à , c’est-à-dire à . On a donc .  Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « la carte tirée est un as » et pour échec l’événement « la carte tirée n’est pas un as ». Un jeu de 32 cartes comporte 4 as (l’as de pique, l’as de cœur, l’as de carreau et l’as de trèfle). Le tirage de la carte se fait de manière aléatoire donc la situation est équiprobable et chaque carte a 1 chance sur 32 d’être tirée. La probabilité d’obtenir un des 4 as parmi les 32 cartes est donc donnée par . Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Correction de l’exercice 1 Retour au menu Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3  Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « on obtient Pile » et pour échec l’événement « on obtient Face » (ou vice versa). La pièce de monnaie n’étant pas truquée, la situation est équiprobable et chaque face de la pièce a la même probabilité d’apparaître. La probabilité d’obtenir Pile est alors donnée par .  Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « on obtient une boule verte » et pour échec l’événement « on obtient une boule rouge » (ou vice versa). Les 7 boules sont toutes indiscernables au toucher donc la situation est celle de l’équiprobabilité ; chaque boule a 1 chance sur 7 d’être extraite de l’urne. La probabilité d’obtenir une des 5 boules vertes parmi les 7 boules de l’urne est donc donnée par . Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 4 On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale à 5. Donner la loi de probabilité associée à cette expérience. Rappel : Loi de Bernoulli Une loi de Bernoulli de paramètre est une loi de probabilité définie sur l’ensemble des issues d’une épreuve de Bernoulli, associant la probabilité au succès et la probabilité à l’échec . Issue Probabilité On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « la somme des dés est supérieure ou égale à 5 » et pour échec l’événement « la somme des dés est strictement inférieure à 5 ». Le jet de 2 dés tétraédriques parfaits conduit à issues. Parmi ces 16 issues, 10 correspondent à une somme supérieure ou égale à 5. Par conséquent, . Il vient alors que . 1 2 3 4 dé 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 dé 2 D’où la loi de probabilité ci-contre : Issue Probabilité Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Correction de l’exercice 2 Retour au menu Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages ? Rappel : Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli d’ordre est une répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. L’expérience aléatoire qui consiste à tirer une boule de l’urne et à observer si la boule tirée est blanche peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « la boule extraite de l’urne est blanche » et pour échec l’événement « la boule extraite de l’urne est noire ». Comme les 3 boules blanches et les 12 boules noires ne sont pas discernables au toucher, la situation est équiprobable et chaque boule a 1 chance sur 15 d’être tirée de l’urne. On dénombre 3 boules blanches parmi le lot de 15 boules donc la probabilité d’obtenir une boule blanche est donnée par . On tire successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Cette expérience aléatoire est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre . Autrement dit, l’expérience est un schéma de Bernoulli d’ordre . Par conséquent, la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages est égale à . Remarque importante : Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s’agit plus d’un schéma de Bernoulli car les expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes. Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Correction de l’exercice 3 Retour au menu Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 6 On fait tourner deux fois de suite la roue ci-contre, parfaitement équilibrée, et dont les secteurs colorés sont représentés par une même aire. Représenter l’expérience à l’aide d’un arbre pondéré. L’expérience aléatoire qui consiste à faire tourner la roue ci-dessus et à observer la couleur du segment obtenu peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « le segment est vert » et pour échec l’événement « le segment est gris ». Les 8 secteurs colorés sont tous de même aire et la roue est parfaitement équilibrée. Par conséquent, on a une situation d’équiprobabilité : chaque segment a 1 chance sur 8 d’apparaître. On dénombre 3 secteurs verts parmi les 8 secteurs colorés, donc la probabilité d’obtenir un segment de roue vert est donnée par . En outre, la probabilité d’obtenir un segment de couleur grise est donnée par . On fait tourner deux fois de suite cette roue, ce qui correspond à la répétition de deux épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. Ce schéma de Bernoulli d’ordre 2 et de paramètre peut être représenté par l’arbre de probabilité suivant : succès succès échec échec succès échec Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Correction de l’exercice 4 Retour au uploads/Geographie/ exercices-corriges.pdf