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Miroirs et dioptres sphériques Vérifications des connaissances : Soit un dioptr

Miroirs et dioptres sphériques Vérifications des connaissances : Soit un dioptre sphérique convergent, de sommet S, de centre C, de foyers F et F’ séparant 2 milieux d’indices n et n’. Rappeler la définition de la vergence. A quelle condition sur n et n’ le dioptre est il effectivement convergent sur la figure. Quel est le foyer image ? Un petit objet réel AB est situé entre -∞ et le foyer objet F. Rappeler les formules de conjugaison avec origine au sommet et au centre. Construire l’image A’B’ et retrouver les formules de grandissement (origines au sommet, au centre et aux foyers). En déduire la formule de Newton. Ce petit objet AB, perpendiculaire à l’axe principal, se déplace de -∞ à +∞. Construire les images correspondantes. (L’espace objet peut être décomposé en 3 zones. En déduire les zones correspondantes de l’espace image). Indiquer, dans chaque cas, la nature de l’image. L’étudiant pourra reprendre cette étude dans Ic cas d’un dioptre divergent en changeant l’inégalité entre n1 et n2. Exercice 2 : Dioptre sphérique Un dioptre sphérique de centre C, de sommet S, de rayon decourbure égal à 10cm sépare l’air d’indice n=1 (espace objet) et un milieud’indice n’= 4/3 (espace image). Sa face convexe est tournée du côté del’air. 1. Trouver la position des foyers F et F’ de ce dioptre. 2. Trouver la position d’un objet réel AB perpendiculaire à SC et de son image A’B’ pour le grandissement linéaire =+2. 3. Tracer la marche d’un faisceau de rayons issus du point B de l’objet. Exercice 3 : On dispose d’un miroir concave de rayon R=1m. 1. Quelle est sa distance focale ? 2. Ce miroir est placé à la distance D=5m d’un écran. Où doit-on mettre un objet pour avoir une image nette sur l’écran ? 3. Quel est le grandissement ? 4. On vérifiera ces calculs en effectuant la construction. Exercice 4 : Rétroviseur Déterminer les caractéristiques d’un miroir sphérique qui donne d’un objet réel, placé à 10 m du sommet, une image droite et réduite dans le rapport 10. Faire la construction géométrique correspondante. Exercice 5 : Association de Dioptres Sphériques On considère une lentille mince biconvexe dont les rayons de courbure des faces et , l’indice du verre est n=3/2. La face d’entrée est baignée par l’air d’indice n1=1, la seconde face par l’eau d’indice n2=4/3. Dans les calculs, les sommets S1 et S2 seront considérés comme confondus en S et on se placera dans le cas de l’approximation de Gauss. 1. Soit AB un objet de faible dimension perpendiculaire à l’axe principal placé dans l’air et A’B’ son image. a) Etablir la formule de conjugaison donnant la position de l’image A’B’ et déterminer le grandissement. b) Montrer que ce système est équivalent à un dioptre sphérique de sommet S et de centre C dont on déterminera le rayon algébrique . c) Déterminer les distances focales et du système. Que vaut le rapport ? 2. Calculer la position et le grandissement de l’image A’B’ d’un objet AB situé à l’abscisse . 3. Construire graphiquement l’image A’B’. 4. Que devient la formule de conjugaison dans le cas d’une lentille mince dont les faces sont baignées par le même milieu (n1=n2) ? Correction Miroirs et dioptres sphériques Vérifications des connaissances : On remarquera que les notations diffèrent de celles utilisées dans le cours. En effet, l’indice du milieu de la face d’entrée est n et l’indice du milieu de la face de sortie est n’. La formule de conjugaison du cours : devient . La vergence est par définition . Sur la figure . Le dioptre est convergent si V>0 et donc si n>n’. Le foyer image est F’ : c’est l’image réelle d’un point à l’infini sur l’axe, c’est à dire d’un point qui envoie des rayons parallèles à l’axe optique. Quand les foyers image et objet et le centre d’un dioptre sont donnés on peut tracer 3 rayons connus :  Le rayon issu de B et parallèle à l’axe optique émerge du dioptre en coupant l’axe optique au foyer image du dioptre.  Le rayon issu de B passant par le foyer objet du dioptre émerge du dioptre en étant parallèle à l’axe optique.  Le rayon issu de B et passant par le centre du dioptre émerge du dioptre en ne changeant pas de direction. Les 3 rayons tracés se coupent en un même point (conditions de Gauss), ce point est l’image de B par le dioptre. Un petit objet plan perpendiculaire à l’axe optique du dioptre donne une image, elle aussi, perpendiculaire à l’axe optique : l’image de A est donc à l’intersection de l’axe optique et de sa perpendiculaire passant par B. Nous nous plaçons dans le cadre de l’approximation de Gauss ( angles faibles autour de l’axe optique), nous pouvons sur la figure assimiler la trace de la face courbe du dioptre à celle de son plan tangent (segment de droite aux 2 brisures indiquant le sens de la courbure). De plus, le rayon issu de B passant par S fait un angle par rapport à l’axe optique, ce rayon émerge du dioptre en passant par le point B’ et en faisant un angle i’ par rapport à l’axe optique. N.B. : Sur la figure, pour qu’elle soit lisible, on a dilaté les dimensions perpendiculairement à l’axe optique. Sur cette figure les angles que forment les rayons avec l’axe optique sont donc beaucoup plus grands qu’en réalité. On peut donc utiliser les approximations et pour le raisonnement. Formules de conjugaisons: Les rayons envoyés sur ledioptre par l’objet A arrivent dans le milieu d’indice n. Les rayons qui contribuent à la formation de l’image A’ de Aémergent dans le milieu d’indice n’.  Origine au sommet :  Origine au centre : Formules de grandissement :  Origine au sommet et , comme nous considérons l’approximation de Gauss et donc et . De plus grâce aux lois de Descartes, nous pouvons écrire , mais pour les mêmes raisons : et , nous obtenons donc : . Soit et finalement :  Origine au centre D’après le théorème de Thalès dans les triangles CAB et CA’B’, nous pouvons écrire :  Origine aux foyers et d’après le théorème de Thalès dans les triangles A’B’F’ et F’SI nous pouvons écrire : . et d’après le théorème de Thalès dans les triangles ABF et FSJ nous pouvons écrire : . On en déduit la formule de Newton : 1er Cas : , l’objet est réel et l’image est réelle. 2ème cas : , l’objet est réel, l’image est virtuelle : 3ème cas : , l’objet est virtuel, l’image est réelle: Exercice 2 : Dioptre sphérique 1. Position des foyers du dioptre La formule de conjugaison d’un dioptre sphérique avec origine au sommet est : (1). Si l’image se trouve en F’, foyer image du dioptre, l’objet est positionné en : et . Soit, en remplaçant dans l’équation (1) : . De la même manière, si l’objet se trouve en F, foyer objet du dioptre, l’image est positionnée en : et . Soit, en remplaçant dans l’équation (1) : . Application Numérique : et . 2. Position de AB et A’B’ La formule de grandissement avec origine au sommet est : (2). De l’équation (2), on a : d’où en inversant cette équation (3). A partir de l’équation (1), on obtient et en remplaçant ceci dans l’équation (3), on obtient soit d’où . De la même manière on obtient : . Application numérique : et 3. Marche d’un faisceau lumineux A est le milieu de FS. L’image A’B’ est virtuelle. Exercice 3 : 1. Par définition, le foyer objet et le foyer image d’un miroir sont confondus, et si on choisit le sens de la lumière comme sens positif : = - 0,5 m 2. Si on utilise par exemple la formule de conjugaison avec l’origine au foyer . = - 4,5 m , = +0,5 m, on trouve = - 0,056 m. On trouve que l’objet et l’image se trouvent du même côté du foyer. 3. . L’image est renversée par rapport à l’objet. 4. Les trois rayon possibles sont : - celui qui passe par le centre et n’est pas dévié, - Le rayon parallèle à CS qui passe par F après réflexion, - Le rayon qui passe par F’ et qui est parallèle à CS après réflexion. Voir figure ci dessus. Exercice 4 : Rétroviseur En prenant le sommet S comme origine, on a : or, = - 10 m et = donc 1 m donc de la relation de conjugaison, on tire = 2,22 m. Le miroir est convexe de rayon R= 2,22 m. Exercice 5 : Association de dioptres sphériques. Formule de conjugaison avec origine au sommet du premier dioptre : (1). Formule de conjugaison avec origine au sommet du second dioptre : (2). En additionnant (1) et (2), on obtient : (3), formule de conjugaison du système optique complet avec origine en S. Formule de grandissement avec origine au uploads/Geographie/ exo-cor1-pdf.pdf