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COURS DE GEOMETRIE Licence de mathématiques 2ième année Université de Bourgogne

COURS DE GEOMETRIE Licence de mathématiques 2ième année Université de Bourgogne 2 Table des matières 1 Géométrie aﬃne 5 1.1 Stuctures fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Groupe, anneau, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Rappels de géométrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Sous espace vectoriel engendré - dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Espace aﬃne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Barycentre - Repère aﬃne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Applications aﬃnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 4 TABLE DES MATIÈRES Chapitre 1 Géométrie aﬃne Dans ce cours, sauf mention contraire, les espaces vectoriels sont réels (le corps des scalaires est R), et de dimension ﬁnie. La plupart des exemples se feront en dimension 2 ou 3. 1.1 Stuctures fondamentales 1.1.1 Groupe, anneau, corps Déﬁnition 1.1.1: Structure de groupe Un groupe (G, ⋆) est la donnée d’un ensemble (non vide) G et d’une opération (ou loi) interne ⋆: G × G → G (x, y) 7→ x ⋆y vériﬁant les axiomes : (G1) la loi est associative : ∀x, y, z ∈G (x ⋆y) ⋆z = x ⋆(y ⋆z) ; (G2) il existe un élément neutre e ∈G : ∀x ∈G e ⋆x = x ⋆e = x ; (G3) tout élément a un symétrique pour ⋆: ∀x ∈G ∃x′ ∈G x ⋆x′ = x′ ⋆x = e. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Un groupe est commutatif ou abélien si de plus : ∀x, y ∈G x ⋆y = y ⋆x. Remarques 1.1.2 1. Un sous-ensemble non vide H de (G, ⋆) est un sous-groupe de G si c’est un groupe pour ⋆, c’est à dire stable pour la loi ⋆et le passage au symétrique : Nota Bene Un sous-ensemble H est un sous-groupe de (G, ⋆) s’il n’est pas vide et si (x, y ∈H) ⇒(x ⋆y ∈H) et (x ∈H) ⇒(x′ ∈H). (x′ symétrique de x) 2. On utilise souvent les opérations notées + (addition ou somme) et × (multiplication ou produit) à la place de l’opération ⋆. Avec l’addition +, l’élément neutre est noté 0, le symétrique de x est noté −x et appelé opposé. Avec la multiplication × ou · (ou rien du tout), l’élément neutre est souvent noté 1, le 5 6 CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE symétrique de x, appelé inverse, est noté x−1, voire 1 x pour les nombres. 3. On omet souvent de mentionner l’opération ⋆lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. Exemples 1.1.3 1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Q∗, ×), (R∗, ×), (C∗, ×), (Q∗ +, ×), (R∗ +, ×) sont des groupes abéliens. 2. L’ensemble Bij(E), ◦ des bijections d’un ensemble E muni de la composition est une groupe, qui n’est pas abélien dès que E possède au moins trois éléments. 3. L’ensemble (GLn(R), ·) des matrices réelles n × n muni du produit des matrices est un groupe non abélien dès que n ≥2. 4. En revanche : (N, +) et (Z \ {0}, ×) ne sont pas des groupes, l’ensemble des nombres décimaux non nuls (i.e. avec un nombre ﬁni de décimales) muni du produit non plus (pourquoi pas ?). Déﬁnition 1.1.4: Structures d’anneau et de corps 1. Un anneau (A, +, ×) est la donnée d’un ensemble muni de deux opérations internes (on utilise souvent somme et produit) vériﬁant les axiomes : (A1) (A, +) est un groupe abélien ; (A2) le produit est associatif : ∀x, y, z ∈A (x × y) × z = x × (y × z) ; (A3) il existe un élément neutre 1 pour la multiplication : ∀x ∈A x × 1 = 1 × x = x ; (A4) la multiplication est distributive par rapport à l’addition : ∀x, y, z ∈A x × (y + z) = x × y + x × z et (x + y) × z = x × z + y × z. 2. Un anneau (K, +, ×) est un corps si tout élément non nul admet un inverse pour le produit. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Un anneau ou un corps est commutatif si son produit est commutatif : ∀x, y ∈A x × y = y × x. Exemples 1.1.5 1. (Z, +, ×) est un anneau commutatif (mais pas des corps) tandis que (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×) sont des corps commutatifs. 2. De même que pour la notion de sous-groupe, on a des notions de sous-anneau et de sous-corps. L’ensemble des nombres décimaux non nuls (i.e. avec un nombre ﬁni de décimales), est un sous- anneau de (Q, +, ×) (mais ce n’est pas un corps). 3. L’ensemble (Mn(R), +, ·) des matrices réelles n × n muni de la somme et du produit des matrices est un anneau, non commutatif dès que n ≥2. 4. (Z/nZ, +, ×) (n ∈N, n > 1) est un anneau commutatif ; c’est un corps si et seulement n est premier. 5. L’ensemble R[X] des polynômes à coeﬃcients réels est un anneau commutatif pour la somme et le produit de polynômes ; l’ensemble R(X) des fractions rationnelles (quotients de polynômes) à coeﬃcients réels est un corps commutatif. Remarques 1.1.6 1. Dans ces déﬁnitions, on omet souvent de mentionner les opérations s’il n’y a pas d’ambiguïté. On parle ainsi de l’anneau Z, des corps Q, R et C. 2. Pour un anneau commutatif qui n’est pas un corps, une notion supplémentaire intervient naturellement, celle d’idéal ; I est un idéal de (A, +, ×) si (I, +) est un sous-groupe de (A, +) qui est stable par produit par un élément extérieur : (p ∈I, x ∈A) ⇒(p × x = x × p ∈I). Par exemple nZ (n ∈N) est un idéal de Z. 1.1. STUCTURES FONDAMENTALES 7 1.1.2 Espace vectoriel Déﬁnition 1.1.7: Structure d’espace vectoriel Soit (K, +×) un corps (corps des scalaires). Un espace vectoriel (sur K) (V, +, ·) est la donnée d’un ensemble muni de deux lois une loi interne + : V × V → V une loi externe · : K × V → V (addition) (⃗ u,⃗ v) 7→ ⃗ u + ⃗ v (produit par un scalaire) (λ, ⃗ u) 7→ λ · ⃗ u vériﬁant les axiomes : (EV 1) (V, +) est un groupe abélien ; (EV 2) compatibilité entre le produit (×) de K et le produit externe (·) : ∀λ, µ ∈K ∀⃗ v ∈V (λ × µ) · ⃗ v = λ · (µ · ⃗ v) ∀⃗ v ∈V 1 · ⃗ v = ⃗ v; (EV 3) double distributivité : ∀λ, µ ∈K ∀⃗ u,⃗ v ∈V (λ + µ) · ⃗ v = λ · ⃗ v + µ · ⃗ v λ · (⃗ u + ⃗ v) = λ · ⃗ u + λ · ⃗ v. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Les éléments de V sont des vecteurs, ceux de K sont des scalaires. On parle d’espace vectoriel réel si le corps K = R, complexe si K = C. Soit ⃗ e1, . . . ,⃗ en des vecteurs de V et λ1, . . . , λn des scalaires. Le vecteur λ1⃗ e1 + · · · λn⃗ en est une combinaison linéraire de ⃗ e1, . . . ,⃗ en. Exemples 1.1.8 1. uploads/Geographie/ geometrie-pdf.pdf