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Classe de 2nde Classe de 2nde Découverte Réinvestissement Classe de 1ère Classe

Classe de 2nde Classe de 2nde Découverte Réinvestissement Classe de 1ère Classe de Tale Les implications dans le raisonnement mathématique Comprendre le sens d’une implication et l’utiliser correctement. Formuler et comprendre l’implication réciproque Comprendre l’équivalence comme une double implication Travail sur la condition suffisante Comprendre les notions de conditions nécessaires et suffisantes Raisonner par équivalence ; propriété caractéristique L’implication/ l’équivalence ■ De la logique en français ( exercice 1 ) ■ Egalités de distances et configurations géométriques . (exercice 2 ) ■ Egalités de carrés . (exercice 3) ■ Configurations et égalités de vecteurs . ( exercice 4) ■ Inégalités et carrés . (exercice 5) ■ Positions relatives dans l’espace : (exercice 6 °) ■ Trinôme (exercice 7) ■ Un peu tous les chapitres ( exercice 8) ■ Trinômes ( exercice 9 ) ■ Fonctions usuelles ( exercice 10) ■ Exercice transversal ( exercice 11) Conditions nécessaire et suffisante ■ Inéquations et carrés ( exercice 12 ) ■ Configurations et vecteurs ( exercice 13 ) ■ Activité transversale sur les notions CN et CS ( exercice 14) ■ Dérivée d’un produit ( exercice 15) ■ Dérivée et extrema locaux ( exercice 16) ■ Variations de suites ou de fonctions ( exercice 17) Les quantificateurs Comprendre la nécessité de quantifier Etre capable d’expliciter les quantificateurs/ prendre conscience de l’existence des quantificateurs qui sont souvent implicites Le contre-exemple pour infirmer une proposition universelle Rédiger avec des quantificateurs Quantificateurs et égalités/ Quantificateurs et implications ■ Fonctions: ( exercice 1) ■ Egalités vectorielles ( exercice 2 question 1) ■Egalités et inégalités algébriques ( exercice 2 question 2) ■ Géométrie : quadrilatères, équations de droites ( exercice 3) ■ géométrie et analyse ( exercice 4) ■ Suites : propriétés et premiers termes ( exercice 5) ■ questions de compréhension des notions ( exercice 6 ) ■ Raisonnement par récurrence ( exercice 7 ) Page 1 sur 28 La négation d’une propriété avec quantificateurs/ le contre-exemple ■ Probabilités : (exercice 8 ) ■ Contre-exemple : voir partie contre-exemple ■ Une suite non majorée ■ limite de suite (démonstration : toute suite croissante non majorée a pour limite + ∞) Les ensembles et leurs relations Connaître et utiliser correctement les notations pour les ensembles et leurs relations. Comprendre le lien entre les connecteurs et/ou et les réunions/intersections d’ensembles Expliciter des événements contraires en lien avec la négation de proposition Comprendre la notion de propriété caractéristique d’un ensemble Maîtriser la négation d’une proposition comprenant les connecteurs et/ou Notion d’ensemble, sous- ensembles, appartenance, inclusion, égalité (propriété caractéristique) ■ Ensembles de nombres et inclusion ( exercice 1) ■ Géométrie dans l’espace : appartenance et inclusions d’objets ■ Probabilités : appartenance et inclusions d’événements ■ Equations équivalentes et ensemble solution ( exercice 2) ■ Ensemble de points : cercle et propriété caractéristique ( exercice 3) ■ Equations de droites et de cercles comme propriétés caractéristiques ( exercice 7 ) ■ Théorème des valeurs intermédiaires : ( exercice 10) ■ Caractérisation d’un plan par son équation Intersection et réunion(et/ou), contraire ■ Exercice transversal sur le notations ∩ et U ( exercice 4 ) ■ Règle du produit nul ; signe d’un produit ■ Probabilités : et /ou algorithmique ( exercice 5 ) ■ Négation de propriétés pour la fonction carré ( exercice 6) ■ Inéquations et trigonométrie ( exercice 8) ■ Négation de propriétés et suites ( exercice 9) ■ Théorème du toit ( exercice 11) ■ Partition de l’univers dans le cadre des probabilités totales ■ Suites et algorithme s ( exercice 12) Différents types de raisonnements Comprendre le raisonnement par contraposée. Mener un raisonnement par l’absurde ou par disjonction des cas en étant guidé. Exhiber un contre-exemple. Prendre l’initiative d’un raisonnement par l’absurde ou par contraposée ou par disjonction des cas, le mener avec rigueur lorsqu’il est suggéré. Le contre-exemple ■ Fonctions : tableaux de signes ou de variations Exercice 1 ■ Nombre dérivé et tangente s : Exercice 13 ■ Variations de suites Exercice 14 ■ Probabilité s Exercice 24 ■ Continuité Exercice 25 Page 2 sur 28 ■ Dérivation et extremum Exercice 26 La contraposée ■ Thm de Pythagore Exercice 2 ■ Exercice en français Exercice 3 ■ Signe d’une fonction trinôme et signe de delta Exercice 15 ■ Fonction racine carrée (variations) Exercice 16 ■ Fonction non dérivable donc non continue Exercice 27 Disjonction des cas ■ n’est pas décimal Exercice 4 ■ Parité de n 2 + n Exercice 5 ■ Variations et signe de f(x) Exercice 6 ■ Démonstration : équation d’une droite Exercice 7 ■ Géométrie dans l’espace Exercice 8 ■ thm : résolution d’une équation du second degré Exercice 17 ■ équations avec paramètres Exercice 18 ■ l’équation = a Exercice 19 ■ expression du produit scalaire à l’aide du projeté orthogonal Exercice 20 ■ une suite périodique Exercice 21 ■ arithmétique en spé TS Exercice 28 ■ thm : résolution d’une équation du second degré (dans £ ) Exercice 29 Par l’absurde ■ Géométrie dans l’espace Exercice 9 ■ Points alignés Exercice 10 ■ Propriétés de triangles Exercice 11 ■ Egalité impossible : recherche d’antécédents Exercice 12 ■ Non dérivabilité Exercice 22 ■ Irrationnalité de Exercice 23 Récurrence ■ Avec des suites Exercice 30 ■ En probabilités Exercice 31 ■ Fausses récurrences Exercice 32 Page 3 sur 28 LES IMPLICATIONS DANS LE RAISONNEMENT MATHEMATIQUE L’IMPLICATION/ L’EQUIVALENCE Classe de 2nde DECOUVERTE Exercice 1 : de la logique en français (d’après document ressource logique et raisonnement) Une réunion de cosmonautes du monde entier a lieu à Paris. Les cosmonautes américains portent tous une chemise rouge. 1. A l'aéroport on voit quelqu'un qui porte une chemise blanche. Est-il cosmonaute américain ? 2. A côté de la personne précédente, on voit quelqu'un qui porte une chemise rouge. Est-il cosmonaute américain ? 3. Le haut-parleur annonce l'arrivée d'un cosmonaute russe. Porte-t-il une chemise rouge ? 4. Dans le hall, on voit un cosmonaute américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise rouge ? Exercice 2 : géométrie : fabrique d'implications. A changer avec exo diapo /garder comm 1. Etudier si les affirmations suivantes sont vraies. Justifier. a) Si K est le milieu de [ ] AB , alors KA=KB. b) Si KA=KB, alors K est le milieu de [ ] AB . c) Si K est le milieu de [ ] AB , alors KA+KB=AB. d) Si KA+KB=AB, alors K est le milieu de [ ] AB . e) Si K [ ] AB ∈ , alors KA+KB=AB. f) Si KA+KB=AB, alors K [ ] AB ∈ . 2. On donne ci-dessous des phrases ou des égalités . Ecrire toutes les implications vraies. Commentaires : 1. Question 1 : Après avoir listé les implications proposées par les élèves, une discussion peut s’engager sur la véracité de celle-ci. Une fois les implications vraies établies, on s’intéressera à la réciproque de ces dernières afin que les élèves se rendent compte qu’une implication peut être vraie et sa réciproque fausse. Pour justifier qu’une implication est fausse, c’est le contre-exemple qui sera travaillé. Le symbole de l’implication « ⇒ » peut être employé si la notion semble être comprise par les élèves. 2. Question 2 : c’est le même type de questionnement ici. De plus lorsque l’implication et sa réciproque sont vraies, on introduit la notion de proposition équivalente. La notation n’est pertinente pour les élèves que si la notion qu’elle exprime est comprise. Page 4 sur 28 ' IM IM = ' ' IM IM MM + = est l’image de par la symétrie de centre est le milieu de appartient à appartient à Exercice 3 : Expression algébrique et premières notions sur les fonctions (d’après document ressource logique et raisonnement) 1. Résoudre l’équation : 2 2 ( 3) ( 9) x x − = + Méthodes élèves attendues : a. Résolution par développement ; b. « Suppression des carrés » ; c. Eventuellement résolution par 3ème identité remarquable pour certains élèves Au moment des discussions : • Soumettre la solution fournie par un logiciel de calcul formel ; • Identifier l’erreur commise en supprimant les carrés ; • Profiter de l’identification de l’erreur pour introduire le vocabulaire. 2. Voici quelques propositions, où a et b sont des nombres réels : (P1) : 2 2 A B = (P2) : A = B (P3) : A = −B (P4) : ( A + B)( A− B) = 0 (P5) : A = B ou A = −B (P6) : A = 0 ou B = 0 a. Quelle sont les implications du type (P1) ....... ⇒ ⋯vraies pour tout A,B réels ? b. Parmi les propositions (P2), (P3), (P4) , (P5) et (P6) , identifier celles qui impliquent la proposition (P1) (pour tout A,B réels). c. Quelles sont les propositions équivalentes (pour tout A,B réels) ? Classe de 2nde REINVESTISSEMENT Exercice 4 : Géométrie vectorielle (d’après Hyperbole 2nde ) Dans chaque cas, dire si l’implication " H implique H' " est vraie puis si l’implication " H' implique H " est vraie puis donner les propositions équivalentes. a) H : uploads/Geographie/ exercices-logique-raisonnement-pdf.pdf