1 3.8 Aperçu de l’intégrale APERÇU DE L’INTÉGRALE 1 Estimation de l’aire d’une

1 3.8 Aperçu de l’intégrale APERÇU DE L’INTÉGRALE 1 Estimation de l’aire d’une région curviligne 2 Erreur d’approximation 3 Aire exacte d’une région curviligne 4 Intégrale définie 5 Intégrale définie négative 6 Propriétés de l’intégrale définie 7 Théorème fondamental du calcul 8 Recherche de primitives et intégrale indéfinie 9 Intégration par changement de variable 10 Calcul d’aires planes par intégration Deux problèmes fondamentaux sont au cœur du calcul différentiel et intégral. D’abord, le problème des tangentes, étudié précédemment, qui consiste à décrire les droites tangentes à une courbe; cette question est à la base du calcul différentiel. Ensuite, le problème de la quadrature, abordé maintenant, qui consiste à déterminer l’aire enfermée par une courbe; cette question est à la base du calcul intégral. Newton et Leibniz ainsi que les frères Bernoulli ont chacun le mérite d’avoir été les premiers à reconnaître clairement la connexion étroite entre ces deux problèmes. 1 Estimation de l’aire d’une région curviligne Dès l’Antiquité, les géomètres s’intéressèrent au calcul de l’aire des figures planes. Ils savaient comment calculer l’aire de n’importe quelle surface polygo- nale plane en la découpant par triangulation et en faisant la somme des aires de chacun des triangles ainsi obtenus. En pratique, ils utilisaient la formule de Héron pour trouver l’aire de chaque triangle calculée à partir de la mesure de ses trois côtés (figure 3.8.1). Mais comment déterminer l’aire de surfaces délimitées par des courbes ? Exemple 1 Estimer l’aire de la région sous une hyperbole Trouvez une approximation de l’aire A de la région comprise entre l’axe des x et l’hyperbole f(x)  1/x, entre les bornes x  2 et x  4. Solution L’idée consiste à estimer l’aire A en remplaçant l’hyperbole par une courbe en escalier qui lui soit voisine : l’aire de chaque rectangle obtenu est facile à calculer, et la somme Sn des aires de ces n rectangles sera à peu près égale à A ; plus la base des rectangles sera petite, plus leur nombre augmentera et plus la somme Sn sera proche de l’aire A de la région sous la courbe. Subdivisons cette région d’aire A en n bandes de largeur égale x et formons sur chaque bande un rectangle fermé au-dessous de la courbe et un rectangle fermé au-dessus de la courbe. Il est clair que l’aire A est comprise entre la somme Sn  des aires des rectangles inscrits et la somme Sn  des aires des rectangles circonscrits (figure 3.8.2). À la figure 3.8.2, nous constatons qu’il y a quatre rectangles circonscrits dont les coins supérieurs droits sont au-dessus de la courbe, et quatre rectan- gles inscrits dont les coins supérieurs gauches sont au-dessous de la courbe. Calculons ces aires. L’aire de chacun des rectangles est le produit de sa base par sa hauteur. Ici, les quatre rectangles sont de base x  (4  2)/4  0,5. Les hauteurs sont données par l’équation de la courbe. L’aire totale des quatre rectangles inscrits est S4   a1  a2  a3  a4  (0,5)(1/2,5)(0,5)(1/3)(0,5)(1/3,5)(0,5)(1/4)  (0,5)(1/2,5  1/3  1/3,5  1/4)  (0,5)(1,2690476)  0,6345238. 3.8 FIGURE 3.8.1 La formule de Héron : soit s  (a  b  c)/2 le demi-périmètre d’un triangle. L’aire A du triangle est donnée par A   s (s  a)  (s  b)  (s  c) . a b c A x y a1 a2 a3 a4 A1 A2 A3 A4 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 2 2,5 3 3,5 4 f (x)  x 1 FIGURE 3.8.2 L’estimation de l’aire A sous l’hyperbole f(x)  1/x à l’aide de quatre rectangles d’aires a1, a2, a3 et a4 et de quatre rectangles circonscrits d’aires A1, A2, A3 et A4. . monotone Preuve Supposons d’abord que f est toujours décroissante sur [a, b]. Les rectan- gles intervenant dans le calcul de S  n  et S n  sont tous de même base x  (b  a)n. Soit f(a) et f(b) les hauteurs respectives des rectangles d’aires A1 et an. Donc, (S n   S  n )  (A1  an) S n   S n   A1  an théorème 3.8.1  [f(a)x  f(b)x]  [f(a)  f(b)]x  [f(a)  f(b)] • ( b  n a )  0 ( b  n a )  0 Dans le cas où f est toujours croissante sur [a, b], il suffit de remplacer A1  an par An  a1 et de développer un argument similaire. On peut élargir le théorème 3.8.2 au cas plus général où f est continue sans être monotone, mais la preuve devient plus difficile et nous ne la présenterons pas dans cet ouvrage. En définitive, puisque (S n   S  n )  0, nous pouvons écrire S n   S  n  (ces deux limites existent toujours si f est continue) et cela permet de définir l’aire de la région curviligne délimitée par le graphe d’une fonction non négative et l’axe des x entre a et b. 3 Aire exacte d’une région curviligne lim n lim n lim n lim n lim n lim n lim n lim n lim n 4 Chapitre 3: Applications des dérivées La méthode d’approximation utilisée pour le calcul d’une aire est analogue dans son principe à celle qui est utilisée pour le calcul d’une pente de courbe, c’est- à-dire une dérivée : la dérivée est la limite d’un quotient de différences alors que l’aire est la limite d’une somme de produits. Archimède a réussi à calculer des aires de régions curvilignes avec exacti- tude grâce à sa méthode géométrique d’exhaustion, dont s’inspire la démarche de l’exemple 1. L’un de ses résultats les plus fameux est le calcul de l’aire d’un seg- ment parabolique, que nous présentons maintenant en notation moderne. Exemple 3 Calculer l’aire exacte de la région sous une parabole Trouvez l’aire exacte A de la région sous la parabole f(x)  x2 entre les bornes x  0 et x  b, où b > 0. Solution Subdivisons l’intervalle [0, b] en n parties égales de longueur x  b/n (voir la figure 3.8.4). ARCHIMÈDE Si éclatante est la renommée d’Archimède (Syracuse, Sicile, 287-212 av. J.-C.), tant pour ses inventions que pour ses dé- couvertes mathématiques, que ce personnage bien réel semble tout à fait mythique. Il s’illustre d’abord quand, pour trouver la valeur de π, il conçoit un polygone de 96 côtés en doublant le nom- bre de côtés d’un hexagone quatre fois de suite; après avoir comparé le périmètre de ce polygone inscrit dans un cercle à celui du polygone circonscrit autour du même cercle, Archimède trouve l’excellente relation 223/71 < π < 22/7. Au moyen de procédés imagina- tifs et précis du même genre, il obtient des résultats tels que 265/153 < 3  < 1351/780; malheureuse- ment, nous n’en possédons pas les démonstrations. L’idée de l’infiniment petit était mal vue chez les Grecs; cela explique pourquoi Archimède employait des approximations géométriques (par exemple, un polygone presque circulaire de 96 côtés) là où un ma- thématicien moderne utiliserait le concept de limite. Néanmoins, on le compte parmi les lointains précur- seurs du calcul différentiel et du calcul intégral. Le principe d’Archimède, dit-on, servit à vérifier si la nouvelle couronne du roi de Syracuse était faite d’or pur ou d’alliage; en comparant la flottabilité de l’or à celle d’autres métaux, Archimède aurait découvert que l’orfèvre avait triché! L’anecdote est amusante, mais Archimède aurait plutôt appliqué son principe à la construction de navires siciliens. Prototype du sa- vant qui sert la patrie en temps de guerre, connaissant très bien les courbes paraboliques, il aurait utilisé des miroirs paraboliques pour concentrer les rayons du soleil sur les navires romains assiégeant Syracuse afin de les incendier! En fait, il s’agissait probable- ment de miroirs plats manipulés par une foule nom- breuse sur la grève... La marine grecque répéta l’ex- périence en 1973: 70 marins firent flamber un petit bateau à l’aide de miroirs. Un soldat romain tua Archimède le jour de la prise de Syracuse. Il avait 75 ans. 3.8.3 Définition Aire exacte A Soit f(x) une fonction continue non négative sur un intervalle entre deux bornes a et b. Soit S n  une somme d’aires de rectangles inscrits dans la courbe de f entre a et b, et soit S n  une somme d’aires de rectangles circonscrits à la courbe f entre a et b. Alors, l’aire A de la région entre a et b délimitée par le graphe de f et l’axe des x est définie par S n   S n  A. lim n lim n 5 3.8 Aperçu de l’intégrale Les n extrémités gauches des sous-intervalles sont x0  0, x1  x, x2  2x, …, xn1  (n  1)x. Les n extrémités droites sont x1  x, x2  2x, x3  3x, …, xn  nx. Puisque uploads/Geographie/ integrale.pdf

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