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ECOLE D’ÉTÉ JACA 2012 Introduction à l’analyse mathématique de l’équation de He

ECOLE D’ÉTÉ JACA 2012 Introduction à l’analyse mathématique de l’équation de Helmholtz HÉLÈNE BARUCQ, JULIEN DIAZ, SÉBASTIEN TORDEUX Projet Magique 3D, INRIA Bordeaux Sud-Ouest LMA - UMR CNRS 5142, Université de Pau et des Pays de l’Adour Septembre 2012 2 Table des matières 1 L’équation de Helmholtz dans l’espace libre 4 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 La condition de radiation de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Fonction de Green et existence de solution sortante . . . . 7 1.2.2 Unicité de la solution sortante de l’équation d’Helmholtz . 14 1.3 Le principe d’amplitude limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Le principe d’absorption limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Chapitre 1 L’équation de Helmholtz dans l’espace libre 1.1 Introduction Dans ce premier chapitre consacré aux phénomènes de propagation d’ondes établis, nous nous plaçons dans l’espace libre (ceci permet un exposé un peu moins technique des résultats à l’aide des fonctions de Green). Nous notons □ le d’alembertien : □v(x, t) = −∆v(x, t) + 1 c2 ∂2v ∂t2 (x, t). (1.1) Nous nous intéressons aux problèmes de D’Alembert □v(x, t)(x, t) = f(x, t) ∀x ∈R3 et t ∈R (1.2) dont les solutions et les termes sources ont une dépendance temporelle harmo- nique          v(x, t) = ℜ ( uk(x) exp(−iωt) ) , g(x, t) = ℜ ( f(x) exp(−iωt) ) . (1.3) Les deux fonctions uk : R3 − →C et f : R3 − →C sont appelées les phaseurs de la solution et du terme source. Ils sont reliés par l’équation de Helmholtz qui prend la forme −∆uk(x) −k2uk(x) = f(x) avec k = ω c . (1.4) 4 Privé de ses conditions initiales, le problème de d’Alembert est mal posé : il n’y a plus unicité de sa solution. En effet, les ondes planes sont solutions de l’équation des ondes homogène (k ∈R3 avec ∥k∥= ω c ) u(x, t) = cos(k · x −ωt). (1.5) De même, le problème de Helmholtz est lui aussi mal posé. Il est facile de construire des solutions homogènes en considérant les phaseurs des ondes planes uk(x) = exp(ik · x). (1.6) D’autre part, il n’y a pas génériquement existence de solutions dans l’espace de Sobolev H1(R3) mais seulement dans un espace beaucoup plus grand : l’espace des fonctions localement H1 H1 loc(R3) = { u : R3 − →C : φu ∈H1(R3) ∀φ ∈D(R3) } . (1.7) Dans ce chapitre, nous montrons comment il est possible de déﬁnir de manière naturelle une solution dite sortante de l’équation de Helmholtz en s’appuyant sur des arguments physiques. Nous présentons plus particulièrement les bases mathé- matiques de cette théorie sous trois points de vue équivalents : la condition de radiation de Sommerfeld, le principe d’amplitude limite, le principe d’absorption limite. La condition de radiation de Sommerfeld Cette approche consiste à garantir l’unicité de la solution de l’équation de Helmholtz en imposant à l’inﬁni à la solution de l’équation de Helmholtz la condition d’ondes sortantes ou de radiation de Sommerfeld qui s’écrit              ∫ {∥x∥=R} uk(x) 2dsx = O R→+∞(1), ∫ {∥x∥=R} (∂r −ik)uk(x) 2dsx = O R→+∞ ( 1 R2 ) . (1.8) Formellement, ces deux conditions consistent à assurer que la solution admet le comportement suivant à l’inﬁni uk(x) = u∞( x ∥x∥) exp(i∥k∥∥x∥) 4π∥x∥ + o ∥x∥→+∞( 1 ∥x∥). (1.9) En domaine temporel, cette expression devient v(x, t) = ℜ ( u∞( x ∥x∥) exp(i∥k∥∥x∥−iωt) 4π∥x∥ + o ∥x∥→+∞( 1 ∥x∥) ) . (1.10) 5 Cette expression correspond à une onde sphérique se déplaçant à la vitesse c > 0 dans le sens ∥x∥croissant. Le but de la section 1.2 est de démontrer le théorème suivant Théorème 1.1 Pour tout f ∈L2(R3) à support compact, il existe une unique fonction uk ∈H1 loc(R3) qui vériﬁe la condition de radiation de Sommerfeld (1.8) et l’équation de Helmholtz −∆uk(x) −k2uk(x) = f(x), ∀x ∈R3. (1.11) Le principe d’amplitude limite Cette approche consiste à étudier le comporte- ment en temps long de la solution du problème                    −∆v(x, t) + 1 c2 ∂2v ∂t2 (x, t) = g(x, t), pour x ∈R3 et t ≥0, v(x, 0) = 0, pour x ∈R3, ∂tv(x, 0) = 0, pour x ∈R3, (1.12) pour un terme source ayant une dépendance temporelle harmonique          g(x, t) = ℜ ( f(x) exp(−iωt) ) ∀t ≥0, g(x, t) = ∀t < 0. (1.13) avec ω = kc et f ∈L2(R3) à support compact. Cette approche sélectionnera la solution sortante en introduisant de la causalité. La section 1.3 donnera un cadre mathématique à cette approche. On y démon- trera le théorème suivant Théorème 1.2 On a lim t→+∞ v(x, t) −ℜ ( uk(x) exp(−iωt) ) L6(R3) = 0. (1.14) avec uk : R3 − →C la fonction déﬁnie par le théorème 1.1. 6 Le principe d’absorption limite Cette technique consiste à introduire un pe- tit paramètre d’absorption ε > 0. On déﬁnit alors la solution variationnelle de l’équation coercive        Trouver uk+iε ∈H1(R3) tel que : −∆uk+iε(x) −(k + iε)2uk+iε(x) = f(x) (1.15) On fait alors tendre le coefﬁcient d’absorption ε vers 0+ pour déﬁnir la solution sortante de l’équation de Helmholtz. Du point de vue physique cette technique consiste à introduire le phaseur de la solution du problème d’ondes amorties −∆v(x, t) + 1 c2 ∂2v ∂t2 (x, t) + 2ε c ∂v ∂t (x, t) + ε2v(x, t) = g(x, t) (1.16) Le terme de frottement introduit alors de la causalité et permet de sélectionner les ondes sortantes. L’objectif de la section 1.4 est de donner un cadre mathématique à ce principe en démontrant le résultat suivant Théorème 1.3 On a lim ε→0+ uk+iε −uk L6(R3) = 0 (1.17) avec uk : R3 − →C la fonction déﬁnie par le théorème 1.1. 1.2 La condition de radiation de Sommerfeld 1.2.1 Fonction de Green et existence de solution sortante Dans cette section nous démontrons l’existence d’une solution sortante de l’équation de Helmholtz à l’aide des fonctions de Green. Lemme 1.4 Si u et ∆u sont dans L2 loc(R3) alors u est dans H1 loc(R3) Démonstration : Soit B la boule de rayon R et B′ la boule de rayon 2R. Par densité, il sufﬁt de montrer qu’il existe une constante C > 0 tel que pour ∥∇u∥L2(B) ≤C ( ∥u∥L2(B′) + ∥∆u∥L2(B′) ) , ∀u ∈D(R3). (1.18) 7 Soit χ une fonction ∈D(R3) tel que χ(x) = 1 dans B et χ(x) = 0 hors de B′ décroissante suivant r. D’après l’identité de Green, on a ∫ R3 ∥∇χu∥2dx = − ∫ R3 ∆(χu) χudx, ∀χ ∈D(R3) (1.19) On peut alors évaluer le terme à la droite de l’égalité en développant le laplacien ∆(χu) = χ∆u + 2 ∇χ · ∇u + u∆χ. (1.20) Il suit que χ∆(χu) = χ2∆u + 2 ∇χ · ∇(χu) + ( χ∆χ −2∇χ · ∇χ ) u. (1.21) On peut alors injecter cette dernière expression dans (1.19) ∫ R3 ∥∇χu∥2dx = − ∫ R3 χ2u∆u + 2 ∇χ · ∇(χu)u + ( χ∆χ −2∇χ · ∇χ ) u2dx, ∀χ ∈D(R3) (1.22) Comme ∥χ∥L∞(R3) = 1, on obtient ∥∇χu∥2 L2(R3) ≤∥u∥L2(B′) ∥∆u∥L2(B′) + 2 C1 ∥∇χu∥B′ ∥u∥L2(B′) + C2 ∥u∥2 L2(B′). (1.23) avec C1 = ∥∇χ∥L∞(R3) et C2 = ∥∆χ∥L∞(R3). Comme ab ≤a2+b2 2 , on a ∥∇χu∥2 L2(R3) ≤ ∥∇χu∥2 L2(R3) 2 + (1 2 + 2 C2 1 + C2 ) ∥u∥2 L2(B) + ∥∆u∥2 L2(B) 2 . (1.24) Il suit que ∥∇χu∥2 L2(R3) 2 ≤ (1 2 + 2 C2 1 + C2 ) ∥u∥2 L2(B′) + ∥∆u∥2 L2(B′) 2 . (1.25) Comme χ = 1 dans B, il suit ∥∇u∥L2(B) ≤∥∇χu∥L2(R.3) (1.26) On déduit (1.18). Ceci termine la preuve de la proposition. ■ 8 Pour tout k ∈C, on introduit la fonction Gk : R3 \ {0} − →C Gk(x) = exp(ik∥x∥) 4π∥x∥ (1.27) Lemme 1.5 Pour tout k ∈C, la fonction Gk est une solution fondamentale de l’opérateur −∆−k2, ie. −∆Gk −k2Gk = δ(x) dans D′(R3) (1.28) Démonstration : Remarquons tout d’abord que Gk est un élément de D′(R3) car Gk ∈L1 loc(R3). Soit Φ ∈D(R3). Nous raisonnons au sens des distrbutions            ⟨ ∆Gk + k2Gk, Φ ⟩ R3 = ∫ R3 Gk(x) ( ∆Φ(x) + k2Φ(x) ) dx = lim ε→0 Iε (1.29) avec Iε uploads/Geographie/ introduction-a-l-x27-analyse-mathematique-de-l-x27-equation-de-helmholtz.pdf