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STAGE OLYMPIQUE DE MONTPELLIER 2013 Du 19 au 29 août 2013 Avant-propos Le stage

STAGE OLYMPIQUE DE MONTPELLIER 2013 Du 19 au 29 août 2013 Avant-propos Le stage de Montpellier a été organisé par l’association Animath. Son objet a été de rassembler des jeunes passionné-e-s par les mathématiques et de les faire travailler sur des exercices en vue de la formation des équipes qui représenteront la France à plusieurs compétitions internationales, à savoir l’Olympiade Internationale de Mathématiques en Afrique du Sud en juillet 2014, l’Olympiade Balkanique de Mathématiques en mai 2014, les Olympiades Européennes pour Filles en Turquie en avril 2014 ainsi que les Olympiades Balkaniques Junior de Mathématiques en Macédoine en juin 2014. Une attention particulière a été apportée au recrutement de collégien-ne-s brillant-e-s en vue de les préparer aux Olympiades Internationales pendant plusieurs années. Nous tenons à remercier l’Internat d’Excellence de Montpellier pour son excellent accueil. Les Animatheux Céline Abraham Samuel Bach Razvan Barbulescu Pierre Bertin Margaret Bilu Thomas Budzinski Guillaume Vincent Jugé Igor Kortchemski Joon Kwon Conchon-Kerjan Matthieu Lequesne François Lo Jacomo Jean-François Martin Roxane Morel Vincent Mouly Louis Nebout Victor Quach 5 Les élèves Julien Alamelle Etienne Apers Noélie Bacq Thibault Bajodek Henry Bambury Augustin Bariant Sébastien Baumert Moïse Blanchard Solange Boucheron Vincent Bouis Pierre Bras Félix Breton Pablo Bustillo Nicolas Champseix Louis Charnavel Elodie Cholieu Pierre Clarou Guillaume Clisson Baptiste Collet Edwige Cyffers 6 Colin Davalo Timothée Defourne Morine Delhelle Julie Devaux Clara Ding Matthieu Dolbeault Antoine Dupuis Thibault Romain Fouilland Marc Ganet Fay de Lestrac Olivier Garçonnet Charles Gassot Solène Gomez Ilyes Hamdi Yassine Hamdi Maxence Lagarde Marc Lamberet Paul Laubie Julie Lauquin Adrien Lemercier 7 Jérémy Lengelé Félix Lequen Clément Lezane Adrien Lopez Charles Madeline-Derou Christian Michon Marc Michoux Arthur Nebout Florent Noisette Cédric Ollivier Tobias Parker Eva Philippe Myriam Qrichi Aniba Raphaël Ruimy Pascal Sedlmeier Thomas Sepulchre Antoine Séré Adam Siegel Elie Studnia Alexandre Thiault Arthus Vanet Lucie Wang 8 Table des matières I Déroulement du stage 15 II Première période 17 1 Groupe A : stratégies de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 Cours de stratégies de base : principe des tiroirs, invariants . . . . . . . . . 18 2 Cours/TD de stratégies de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Cours de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 TD de stratégies de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Groupe B : stratégies de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 Cours de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2 Cours/TD de stratégies de base : coloriages, invariants . . . . . . . . . . . 44 3 Cours de stratégies de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 TD de stratégies de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Groupe C : géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1 Cours de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Cours/TD de géométrie : similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3 TD de géométrie : barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4 Groupe D : arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1 Cours d’arithmétique : structure de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2 TD d’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3 Cours/TD d’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 III Deuxième période 127 1 Groupe A : algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 1 Cours d’algèbre : développements, factorisations, combinatoire . . . . . . 128 2 TD d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2 Groupe B : algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1 Cours d’algèbre : techniques de calcul, coefﬁcients binomiaux, inégalités . 137 2 TD d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3 Groupe C : polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1 Cours de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2 TD de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4 Groupe D : géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 1 Cours/TD de géométrie : inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2 Cours de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3 Géométrie projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11 IV Test de mi-parcours 209 1 Groupe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ poly-2013-2.pdf