1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVR

1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2000 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE EPREUVE D'ORDRE GENERAL DUREE : 4 HEURES Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix. SUJET n° 1 Que pensez-vous de cette citation de MONTESQUIEU (écrivain Français 1689-1755). «Si dans l’intérieur d’un pays vous n’entendez le bruit d’aucun conflit, vous pouvez être sûr que la liberté n’y est pas». Est-elle toujours d’actualité ? SUJET n° 2 NÄBÏ prosateur turc (mort en 1712) a écrit cette phrase : «La nature, qui nous a donné qu’un seul organe pour la parole, nous en a donné deux pour l’ouïe afin de nous apprendre qu’il faut plus écouter que parler». A l’aide d’exemples précis, quelles réflexions vous inspire-t-elle ? 2 SUJET n° 3 Albert EINSTEIN, physicien allemand (1879-1955) a écrit ce qui suit sur l’influence du milieu où l’on vit : «Peu d’homme sont capable d’exprimer une opinion qui diffère des préjugés de leur milieu ambiant». Etes-vous d’accord avec lui ? En ce temps des communications rapides, de l’Internet, est ce toujours aussi vrai ? 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2000 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION ECONOMIE PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 4 HEURES L’épreuve est composée d’un seul problème, présenté en trois parties. Dans tout le problème, F désigne l’ensemble des applications continues de U dans R, où U est l’intervalle [0, 1] et R l’ensemble des nombres réels. Première partie On définit sur F × F l’application D par : Pour f, g ∈F, D(f, g) = Sup f x g x x U ∈ − ( ( ) ( ) ) Cette définition est licite car la fonction f −g étant continue sur le segment U, elle est bien bornée sur U.  Si f et g ∈F, que signifie D(f, g) = 0 ?  Montrer que D est symétrique, c’est-à-dire que D(f, g) = D(g, f), ∀f et g ∈F 2  Montrer que D vérifie l’inégalité triangulaire : ∀f, g, h ∈F, D(f, g) ≤D(f, h) + D(h, g)  On définit les fonctions f et g suivantes, pour x ∈U : f(x) = x² et g(x) = x. Etablir que D(f, g) = 1/4. Tracer les graphes de f et g et représenter graphiquement D(f, g).  Tracer les graphes des fonctions f(x) = x −1/2et g(x) = 1 ; représenter D(f, g) et calculer D(f, g).  Calculer D(f, g) pour les fonctions f(x) = cos(πx) et g(x) = sin(πx).  On note par O l’application nulle définie sur U = [0, 1] par : ∀x ∈U, O(x) = 0. Donner un exemple de fonction f, qui ne soit pas un polynôme, telle que D(f, O) = 2. Deuxième partie  Montrer que : ∀f et g ∈F, f t dt g t dt U U ( ) ( ) −   ≤D(f, g) le symbole U  désignant simplement l’intégrale de 0 à 1. On définit sur U la suite de fonctions de F par fn (x) = (sin n²x) / n, où n appartient à l’ensemble N* des nombres entiers strictement positifs. O désignant, comme dans la question 7 de la première partie, l’application nulle, et f’n la dérivée de fn, montrer que, pour tout entier n ≥2 : D(fn , O) = 1 / n et D(f’n , O) = n 3 Troisième partie On désire étudier, dans cette partie, la possibilité d’approximer une application f de F par une suite de polynômes Pn, l’approximation de f par Pn étant définie au sens suivant : limn→+∞D(f, Pn) = 0. Nous allons étudier successivement trois situations de ce type.  On note par f l’application de F définie par : f(x) = 2/(2 + x) Pour n ∈N*, on définit le polynôme Pn élément de F par : Pn(x) = Σk (−1)k (x/2)k où k varie de 0 à n et x ∈U Etablir que D(Pn, f) = 1 / (3.2n)  On prend pour f la restriction à U = [0, 1] de la fonction exponentielle ex, et on définit pour tout nombre entier n la suite de polynômes Pn de F par : Pn(x) = Σk xk / k! où k varie de 0 à n et x ∈U a) On veut établir que l’on a l’égalité (E) suivante : (E) ex −Pn(x) = J(n, x) où J(n, x) est l’intégrale [ ] 0,x  [et (x−t)n /n!] dt Etablir une relation entre J(n, x) et J(n+1, x). Démontrer ensuite par récurrence l’égalité (E). b) Montrer que et (x−t)n est majoré par e(x−t)n. c) En déduire que D(Pn, f) ≤e/(n+1)!  Dans cette question, on prend pour f la restriction de la fonction sinus à l’intervalle U = [0, 1]. La suite Pn de polynômes de F est définie par récurrence de la façon suivante, pour tout x ∈U : P1(x) = x Pn+1(x) = 3 Pn(x/3) −4 [Pn(x/3)]3 a) Donner les formes explicites des polynômes P2(x) et P3(x). 4 b)On note par A l’intervalle [−1, +1] et on définit l’application T sur A par : ∀x∈A, T(x) = 3x −4x3. Etudier l’application T. Montrer, en utilisant la formule des accroissements finis, que : ∀u, v ∈A T(u) −T(v)≤9u −v c )Etablir la formule trigonométrique : sin (3a) = 3sin(a) −4 sin3(a) d) Montrer que l’on a, pour tout x ∈U : 0 ≤x −sinx ≤x3/6 e) Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈N*, on a : ∀x ∈U, Pn(x) ∈A, et Pn(x) −sinx≤x3 / (2.3n) 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2000 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION ECONOMIE EPREUVE D’ECONOMIE DUREE : 4 HEURES Les candidats devront traiter au choix, l’un des deux sujets suivants : SUJET n° 1 Après avoir exposé les principales innovations des nouvelles théories de la croissance (endogène) par rapport aux modèles néo-keynesien et néo-classique traditionnels, il vous est demandé d’en déduire les mesures concrètes de politiques de développement économique qu’elles suggèrent. SUJET n° 2 L’accroissement du taux d’épargne constitue-t-il un préalable à celui des investissements et au raffermissement de la croissance dans les économies en développement ? Après un rappel détaillé des dimensions théoriques du sujet, vous présenterez quelques illustrations passées et récentes. 1 ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2000 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTION ECONOMIE DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 3 HEURES L’épreuve se compose de trois exercices indépendants, à traiter dans un ordre quelconque. EXERCICE n° 1 On se place dans l’ensemble M3(R) des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels. On notera I la matrice unité et O la matrice nulle de M3(R). Les paramètres a, b et c sont des nombres réels ; on définit la classe ∆des matrices T(a, b, c) de M3(R) de la forme : T a b c a b c a b a ( , , ) =           0 0 0 On note par A la matrice T(1, 2, 3) correspondant aux choix de paramètres a = 1, b = 2, c = 3. On considère l’équation matricielle (E) : Xn = A, où l’inconnue est une matrice X de M3(R), n étant un nombre entier non nul. 2  Montrer que T(a, b, c) peut se mettre sous la forme aI + R, où R est une matrice que l’on explicitera.  Donner l’expression de la matrice Tn(a, b, c), pour tout entier n.  On suppose que la matrice X vérifie l’équation (E). a) Démontrer que X commute avec A : AX = XA. b) En déduire que X appartient à ∆. c) Déterminer les éventuelles solutions de (E) en distinguant selon la parité de n. EXERCICE n° 2  On considère le système linéaire d’inconnues réelles x, y, z, t où a, b, c et d sont des paramètres réels : – 0,75x + y = a 0,25x – y + z = b 0,25x – z + t = c 0,25x – t = d Donner une condition (C) nécessaire sur les paramètres a, b, c, d pour que ce système admette au moins une solution. En supposant cette condition (C) vérifiée, montrer que pour tout réel r il existe une unique solution au système précédent vérifiant de plus l’égalité x + y + z + t = r. Préciser cette solution.  On définit la suite réelle (un), n ∈N, ensemble des nombres entiers naturels, vérifiant pour tout entier n l’égalité : un+4 = (un+3 + un+2 + un+1 + un)/4 On définit alors, pour tout n ∈N, les deux suites mn et Mn par : mn = Min (un , un+1 , un+2 , un+3) Mn = Max (un , un+1 , un+2 , un+3) 3 2 a – Etablir pour tout entier naturel n les inégalités : mn ≤un+4 ≤Mn 2 b – En déduire que la suite (mn) est croissante et que la suite uploads/Geographie/ iseeco-2000.pdf

Tags
Administrationnombre montrer définit d’entrées cette
Documents similaires
  • 20
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager