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La modélisation mathématique de propagation et de prédiction de l’épidémie Coro

La modélisation mathématique de propagation et de prédiction de l’épidémie Coronavirus Covid-19 au Maroc Par Abdeljabar RAFIKI1 Résumé : La caractéristique biologique de l’agent pathogène et les données de l’environnement constituent un processus essentiel dans le mode de transmission de virus et joue un rôle crucial dans le choix des modèles épidémiologiques parmi la classe des modèles disponibles. Cet article vise à modéliser la propagation de Coronavirus Covid-19 au Maroc dans la perspective de prédire son jour de pic et son arrêt définitif. A travers des analyses des courbes épidémiques, des simulations du jeu de données de la santé publique par le modèle mathématique S.I.R, et le modèle statistique de la fonction logistique nous sommes arrivés à des conclusions intéressantes. D’abord, le confinement précoce a réduit progressivement le taux de reproduction de base actuellement jusqu’à moins de « 1 ». Ensuite, le mode de transmission est de type « épidémie à propagation » ceci risque de générer une nouvelle vague. Enfin, les deux démarches de modélisation utilisées ont montré que le pic épidémique est atteint entre 20 et 21 avril 2020 et l’arrêt définitif de la crise est prévu à la fin de la 1ère semaine de juin 2020 pour le modèle SIR et à la fin de la dernière semaine du même mois avec un effectif autour de 5000 cas confirmés. La différence des résultats des deux modèles n’est ni surprenante ni trop significative pour qu’elle soit inquiétante, elle est imputée aux bases des calculs différentes et aux hypothèses différentes des deux modèle. La modélisation par S.I.R est plus robuste que celle de la fonction logistique. Mots-clés : Courbes épidémiques, taux de transmission, taux de reproduction de base et effectif, temps de génération, le pic épidémique, Modèle S.I.R, fonction logistique, arrêt de l’épidémie 1 Professeur d’économétrie et de statistique à la Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales- Université Moulay Ismïl- Meknès. Introduction Depuis l’apparition de Coronavirus Covid-19 pour la première fois en chine, les recherches sur la modélisation de propagation et de transmission de virus ne cessent de se développer dans le monde entier sans être convergentes. Malgré la robustesse de ces modèles mathématiques épidémiologiques il n’en demeure pas moins que leurs applications à Covid- 19 souffrent des imperfections liées à la nature de l’agent pathogène qui lui-même reste mal connu jusqu’à présent. Il s’agit par exemple des sujets asymptomatiques infectieux non identifiables, de la période d’infection et d’incubation variable d’un sujet à l’autre et du temps de génération mal connu, Ainsi, la méconnaissance de l’estimation précise du taux de reproduction et du taux de transmission de l’infection rendent les résultats de la modélisation mathématique imprécis. Dans cette modeste contribution, nous allons élaborer une étude propre au contexte marocain dans la perspective de répondre à une question cruciale que se pose tout le monde, à savoir « Combien de temps pourrait durer l’épidémie causée par Coronavirus ? ». Pour pouvoir apporter des éléments de réponse cohérents avec la réalité marocaine on devrait choisir le modèle mathématique hypothétique le mieux adapté à la situation marocaine. Pour ce faire on opte pour le modèle S.I.R qui se voit capable de décrire la propagation de virus telle qu’elle est observée dans notre contexte depuis le début de la crise. Ainsi, le modèle mathématique S.I.R qui tient compte à la fois des caractéristiques propre à Covid-19 et des données de l’environnement externe à l’agent pathogène. Dans la construction de cette modélisation nous allons prendre en considération l’hypothèse de confinement précoce qu’avait adopté le Maroc, l’apprentissage par l’expérience des citoyens, la distanciation, l’hygiène et la protection par des masques. Ces procédures ont réduit actuellement la taille de la population des susceptibles d’être infectés de façon considérables et ont fait manqué au virus de ressources pour se propager dans de nombreuses régions du Maroc qui se voient épargnés jusqu’à nos jours. Pour faire face à ses hypothèses restrictives du modèle S.I.R nous avons enrichi notre démarche de modélisation par recours à l’estimation du modèle logistique qui s’ajuste parfaitement à l’évolution type des données épidémiques observées. Par ailleurs, en raison du changement des paramètres des deux modèles au jour le jour, on ne peut en aucun cas admettre l’étalement de cette prédiction à long terme, elle est considérée effectuée à l’instant « T » pour le court terme. Dans les développements qui suivent nous présentons successivement l’analyse des courbes épidémiques, la prédiction de la propagation de virus par le modèle S.I.R et par le modèle de la fonction logistique. 1-Analyse des courbes épidémiques 1.1 Courbes des cas infectés journaliers (incidences) La courbe épidémique de l’évolution des cas confirmés positifs en fonction du temps [figure 1] permet de visualiser plusieurs informations liées à la propagation de l’infection par coronavirus Covid-19 dans notre pays. Nous nous limitons ici aux seules informations d’aide à la prédiction. Il s’agit notamment : - De plusieurs pic séparés par des périodes d’incubation qui ne sont pas les mêmes pour tous les patients. D’après l’estimation faite par le modèle économétrique d’autorégressif, cette période est en moyenne de 6 jours. - La présence de certains pics nettement distinctifs par rapport aux autres ne renvoie en aucun cas à la gravité de la chose. Ceci s’explique par deux choses : l’une est liée à la multiplication des laboratoires qui a fait apparaitre des cas confirmés avant même l’apparition des symptômes et l’autre revient au faite que la déclaration des cas confirmés est rapportée avec retard aux jours où ils doivent lui être imputés. - L’instabilité des longueurs des bâtons renvoie à l’infection interhumaine par groupe ami et/ou famille de type épidémie par propagation. - Le bâton le plus long (47ème jour) ne correspond pas exactement au jour de pic de l’épidémie mais, il a contribué à la formation du pic épidémique théorique que l’on estimera dans les sections qui suivent. Normalement avant l’arrêt définitif de l’épidémie, le graphique de la figure [1] ne peut en rien se prononcer sur le pic épidémique. Cependant pour obtenir une courbe épidémique plus informative sur cette question nous regroupons la distribution des cas confirmés 1 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 2 10 10 9 7 10 9 16 17 19 28 27 55 50 58 68 65 68 68 40 49 70 122 107 130 64 91 99 74 97 116 102 125 136 259 281 121 170 191 163 237 122 190 139 168 55 132 69 0 50 100 150 200 250 300 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 Figure 1 Cas confirmés journalier du 02/03/2020 au 29/04 /2020 journaliers en classe de même amplitude, on prenant comme règle empirique dans les maladies infectieuses une unité de temps d’une durée égale au quart de la période d’incubation, soit une amplitude de 3,5 jours puis nous calculons la fréquence ou la densité de chaque classe. Selon cette règle de manipulation simple nous obtenons l’histogramme de la figure [2] suivante : Si la situation de confinement, de distanciation, de prudence, de la crainte de virus, de l’hygiène de contact physique etc. est maintenue, il ne reste qu’à attendre l’arrêt de l’épidémie puisque nous sommes déjà vécus son pic. Il correspond à la hauteur du rectangle [figure 2] la plus élevée, soit une fréquence de 17,6125%. Le pic est lu sur l’axe des temps, il se situe entre la 49ème et la 52,5ème journée depuis la déclaration du premier cas positif au début mars 2020, soit le 20 ou le 21 Avril. L’ajustement de la courbe d’incidence cumulée par la fonction logistique et le modèle mathématique de prédiction des épidémies S.I.R comme on va le voir ci-après ont montré que le pic épidémique est atteint le 50ème jour, soit le 20/Avril/2020. Au contraire, on devrait être très prudent à ces conclusions, toute désintégration de confinement et de prudence va entrainer une nouvelle vague de de contamination et de propagation puisque déjà la figure [1] montre que nous sommes en présence d’une épidémie de type propagation. 2.1. La courbe du nombre de cas cumulés L’épidémie causée par coronavirus covid-19 qui a été déclenchée au Maroc le début du mois de mars va disparaitre très prochainement. Les signes, les indices et les calculs mathématiques sont autant d’arguments justificatifs d’une telle conclusion sous l’hypothèse du respect des orientations des autorités et le maintien de confinement et d’hygiènes. A ce point en 0,023 0,093 0,278 0,833 0,972 2,985 4,073 5,577 5,577 9,072 6,249 11,085 15,297 17,612 10,437 9,813 - 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 16,000 18,000 20,000[03,5[[3,5-7[[7-10,5[[10,5-14[[14-17,5[[17,5-21[[21-24,5[[24,5-28[[28-31,5[[31,5-35[[35-38,5[[38,5-42[[42-45,5[[45,5-49[[49-52,5[52,5-56[[56-59,5 Figure [2] Cas confirmés agrégés en classes d'amplitudes 3,5 jours entre le 02/03/2020 particulier, nous sommes reconnaissants de l’effort hautement considérable qu’avait fourni l’Etat marocain pour la lutte contre la propagation de coronavirus Covid-19. La courbe d’incidence cumulé (Figure [3]) retrace l’évolution quotidienne des cas cumulés depuis le début mars 2020 jusqu’au 29 avril 2020. D’après l’ajustement de cette courbe par une équation exponentielle, elle uploads/Geographie/ la-modelisation-mathematique-de-propagation-et-de-prediction-de-l-x27-epidemie-coronavirus-covid-19-au-maroc.pdf