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Siège social et bureaux : 111, Faubourg Saint Honoré, 75008 Paris. Tel. : 01 42

Siège social et bureaux : 111, Faubourg Saint Honoré, 75008 Paris. Tel. : 01 42 89 10 89. Fax : 01 42 89 10 69 Société Anonyme au capital de 56 200 Euros. RCS : Paris B 399 991 041. SIRET : 399 991 041 00035. APE : 731Z La modélisation mathématique robuste Exposé au forum technique d'Arcachon, Aerospace Valley, mardi 29 mai 2007 par Bernard Beauzamy PDG, Société de Calcul Mathématique S. A. Aujourd'hui, les organismes et entreprises cherchent de plus en plus à évaluer la qualité des résultats numériques obtenus. C'est un état d'esprit nouveau : pendant trente ans, la mode était au calcul de plus en plus précis, de plus en plus rapide. Maintenant, on met davantage l'accent sur la connaissance de l'incertitude sur les résultats. Les deux, bien sûr, ne sont pas incompatibles, mais ils procèdent d'une approche radicalement diffé- rente. 1. D'où vient ce besoin ? Nous l'avons constaté au travers des demandes des clients : la SCM a douze années d'existence et, depuis au moins dix ans, presque tous nos contrats se placent dans ce ca- dre. Il s'agit d'une photographie de l'état de l'opinion des entreprises et des organismes publics ; nous nous sommes adaptés mais nous ne l'avons en aucune façon créé. Comme souvent, le domaine moteur a été le nucléaire, pour des raisons évidentes : sécu- rité générale, allongement de la durée de vie des centrales ; tout ceci a conduit les res- ponsables à s'interroger sur la précision, sur la fiabilité, des résultats : lorsque le code de calcul sort une température égale à 1 145°C, en cas de grosse brèche dans le réacteur, est-ce que cela veut dire 1 140 - 1 150, ou bien 1 100 - 1 300, ou bien 100 - 3 000, ou n'im- porte quoi ? En d'autres termes, quelle est l'information fiable qui se cache derrière cette valeur bien jolie, bien précise, de 1 145°C ? De même, quel sens peut-on donner à un coefficient de sécurité ou de dimensionnement d'une structure, sachant que la géométrie, les lois de comportement, les caractéristiques des matériaux, les charges appliquées, et plus généralement toutes les "entrées" du cal- cul relèvent elles-mêmes d'approximations, de modélisations, ou de mesures incomplè- tes ? Dans le cas de véhicules aéronautiques et spatiaux, il est souvent demandé d'afficher une "fiabilité prévisionnelle". Pour l'obtenir, on fait souvent des calculs paramétriques reposant sur des modèles, qui ne sont que des approximations. De plus, d'un point de vue pratique, on ne peut balayer qu'un nombre fini et restreint de variations des paramètres d'entrée : tout ceci pose des problèmes méthodologiques quant à la validité du résultat. Société de Calcul Mathématique, S. A. Algorithmes et Optimisation Modélisation robuste. Exposé BB, Aerospace Valley, Arcachon, mai 2007 2 Dans d'autres domaines, on a voulu évaluer d'éventuels dommages. Nous avons travaillé pour le CNES (2005) sur la question : comment mesurer les dégâts liés à la retombée des débris spatiaux ? Nous verrons plus loin les méthodes que nous avons développées. Ce besoin de connaître les incertitudes s'est progressivement répandu : récemment, Veo- lia Environnement, Région Ouest, nous a demandé de mettre au point un "panel" de consommateurs, pour la consommation d'eau, et a précisé que ce panel devrait refléter la consommation réelle "à 1 % près". Cette requête, très légitime, est nouvelle : les sondages électoraux donnent une valeur, sans préciser la fourchette. Enfin, d'autres secteurs ne sont pas encore conquis. Le responsable d'un bureau d'études en environnement me disait récemment que les laboratoires chargés d'analyser les pollu- tions des sols lui fournissaient toujours un chiffre de pollution, mais que ce chiffre n'était jamais assorti d'un intervalle. Je lui ai rétorqué qu'une mesure devait toujours être as- sortie d'une évaluation de précision et je lui ai conseillé de refuser de payer la facture que les laboratoires lui adressaient ! La seconde raison qui favorise l'analyse des incertitudes est le besoin d'économies. Bien des organismes se font cette remarque de bon sens : il n'est pas utile de développer un logiciel très fin, très puissant, qui analyse tout et calcule avec 15 chiffres significatifs, si nos données ne sont connues qu'à 20 % près. De même, si le besoin est imprécis, le résul- tat en sortie n'a pas de raison d'être précis. Nous en verrons des exemples plus loin. Mais, même en ce cas, les méthodes robustes, dont nous allons parler, ne conviennent pas à la culture de base des ingénieurs, qui aiment bien calculer vite et précisément. Beaucoup d'entre eux, lorsqu'ils y réfléchissent, en conviennent volontiers, mais le ré- flexe de base, pour tout problème, est de vouloir recueillir des données suffisamment précises et suffisamment nombreuses pour alimenter un calcul fin. Or, comme nous le verrons, ce n'est généralement ni possible ni souhaitable. En 2007, on trouve encore des écoles d'ingénieurs qui se contentent d'enseigner l'analyse numérique (encore appelée "calcul scientifique"), sans que les élèves aient jamais entendu parler d'évaluation des incertitudes et aient jamais reçu le moindre bagage en probabilités. Enfin, les méthodes robustes sont souvent adoptées par ceux qui souhaitent être à l'abri de toute critique. Par exemple, pour reconstituer des données manquantes, pour faire des extrapolations, de nombreuses méthodes existent : prolongement linéaire, régres- sion, etc., mais elles reposent sur des hypothèses factices, donc critiquables. Plutôt que de dire avec une belle certitude "la valeur retenue est 10,53", et de ployer aussitôt sous le déluge de critiques, beaucoup préfèrent dire "la valeur est entre 10 et 11", en étant sûrs de leur fait. Nous avons un contrat cadre avec l'Agence Européenne de l'Environnement : il s'agit de fournir des résultats "robustes" : grossiers certes, mais à l'abri de toute criti- que. Le domaine concerné est la mesure des pollutions dans les rivières ; nous en parle- rons plus bas. 2. Un peu de terminologie Quand il s'agit d'évaluer la précision sur un résultat, trois concepts distincts peuvent être employés : − Une fourchette, encore appelée tolérance absolue. Elle vous dit que le résultat annon- cé a est nécessairement compris entre deux bornes m et M (qui ne sont pas néces- sairement symétriques par rapport à a ). Cela correspond à un cahier des charges pré- cis. Je déclare que telle épaisseur doit être de 3.4 cm avec une tolérance de ± 1 mm : Modélisation robuste. Exposé BB, Aerospace Valley, Arcachon, mai 2007 3 cela signifie que, lors de la fabrication, tous les produits doivent être entre 3.3 et 3.5 cm. Ceux qui ne sont pas dans cet intervalle seront rejetés. − Un intervalle de confiance, par exemple à 95 %. Dans l'exemple précédent, l'intervalle 3.3 -3.5 cm sera un intervalle de confiance à 95 % si 95 % des produits fabriqués tom- bent dans cet intervalle. On accepte (c'est moins strict que le précédent) un quota hors intervalle, pourvu que ce quota ne soit pas trop nombreux. Notons bien que l'on ne fixe aucune borne sur ceux qui sont hors intervalle : s'il y en a un de 10 mètres de long, cela reste acceptable ! − Une loi de probabilité. On définira par exemple quatre valeurs, mettons : { } 3 3.3 0.01 P X < ≤ = { } 3.3 3.4 0.38 P X < ≤ = { } 3.4 3.5 0.59 P X < ≤ = { } 3.5 4 0.02 P X < ≤ = et on réclamera que la production respecte ces critères : par exemple, sur 10 000 piè- ces, il doit y en avoir environ 59 % entre 3.4 et 3.5. C'est plus précis que l'intervalle de confiance, tout en étant plus souple que la fourchette absolue. Notons bien que dans ces conditions on contrôle toute la production : un élément de 10 m n'est plus accepta- ble. 3. Un exemple concret Pour traiter immédiatement un exemple concret, voici un problème que le CNES nous a soumis en 2005 : comment évaluer les dégâts susceptibles d'être commis par la réentrée d'un objet spatial (débris de satellite, de lanceur, etc.). On connaît (approximativement) la position de l'objet et sa vitesse lors de la réentrée dans l'atmosphère ; on dispose de cartes de densité de population, d'implantation des sites industriels, etc. Comment éva- luer les dégâts susceptibles de survenir ? On peut évidemment mettre en œuvre un logiciel précis : à partir de la taille, de la forme de l'objet, de ses caractéristiques (Cx, surface, poids, nature du matériau), connaissant le champ de gravité et les caractéristiques de l'atmosphère (densité, direction et force des vents), on peut calculer le point de chute de l'objet. Un tel logiciel est lourd et coûteux à développer, et très lent d'exécution, car toutes les équations doivent être résolues par des méthodes numériques à pas variable. Le problème est que le résultat obtenu (trois coordonnées, avec autant de décimales que l'on veut !) ne répond en rien à la question posée, car les données d'entrée sont impréci- ses. On ne connaît pas exactement, en réalité, ni la position ni la vitesse du satellite uploads/Geographie/ la-modelisation-mathematique-robuste.pdf