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le tri Trois points, e l'g.ventwre ??lQ.thé??lQ.tiqwe Tangente Hors-série n° 24

le tri Trois points, e l'g.ventwre ??lQ.thé??lQ.tiqwe Tangente Hors-série n° 24 le triangle Trois points, c'est tout! Sous la direction de Gilles Cohen POLE © Éditions POLE - Paris 2005 Toute représentation , traduction, adaptation ou reproduction , même partielle, par tous procédés, en tous pays, faite sans autorisation préalable est illicite, et exposerait le contrevenant à des poursuites judiciaires. Réf.: Loi du 11 mars 1957. I.S.B.N. 2-84884-046-3 I.S.S.N. 0987-0806 Commission paritaire 1006 K 80883 Le triangle Sommaire l•X•t}1i4,I Passeport pour le triangle C'est le plus simple des polygones. A toutes époques, on l'a observé, découvrant à chaque fois de nouvelles pro- priétés. Depuis quelques années, cependant, le triangle semble passé de mode. Et si nous le faisions revivre ? Pourquoi trois points ? La somme des angles d'un triangle Le théorème de Pythagore Mesurer dans un triangle La leçon de Mémé Laïus Le triangle « à l'ancienne » Géométrie de l'équerre Alignement et concourt Une vision géométrique des triplets de Pythagore •• X, t} 1 1 a ;I Points, droites et cercles remarquables Le triangle, plus que toute autre figure géométrique, a hanté l'imaginaire de tous les mathématiciens. Pas en vain. Ils y ont trouvé des points si remarquables, des droites si singulières, des cercles si extraordinaires qu'ils leur ont laissé leur nom. Une mine de points remarquables Le fameux cercle des neuf points Pas anonymes, les points La droite de Simson Le théorème de Napoléon Le « théorème japonais » de Lazare Carnot Ellipses inscrites dans un triangle Inscrire un carré La merveille de Frank Morley Hors série n° 24. L DOSSIER la plastique du triangle Malgré sa simplicité, la forme triangulaire recèle une multitude d'avantages pratiques : disposition des nombres entiers, calcul de distances, représentation des surfaces en 30 ... L'art du triangle Mesurer du linéaire par de l'angulaire Arithmétique en triangles Des triangles qui tournent rond Les triangles cachés de la 3D i •X•t-}1 i a ,1 Jeux et problèmes autour du triangle Le triangle est une des pierres fondatrices des mathématiques classiques, mais, comme tout objet sérieux, il peut être détourné au nom du plaisir du jeu. Ces quelques problèmes, énigmes et autres puzzles convaincront les plus incrédules. Des triangles pour aller plus vite Diagrammes triangulaires Le rubis du mécène La ronde des triangles Un problème qui revient de loin Du côté du triangle équilatéral Triangles à foison : les puzzles polymorphes Le trioker En direct du Japon Jouons avec les allumettes ! Un problème sur l'oreiller de Lewis Carroll En bref Problèmes Solutions SAVOIRS par Hervé Lehning Pourquoi oins? • rois Pourquoi s'intéresser aussi particulièrement aux triangles ? Tout simplement à cause de leurs trois sommets ! Trois points suffisent en effet à bien des choses utiles comme se répérer, calculer des distances ou traire les vaches. D epuis l'antiquité, les mathéma- ticiens s' intéressent au triangle. Pourquoi ? Pas à cause des trois angles dont ils sont constitué , contrairement à ce que leur nom peut faire penser. Pas non plus à cause de leurs trois côtés qui leur ont donné leur nom grec de trigones. Ni pour la collec- tion d'éléments remarquable que l'on Dans les peut y trouver. Non, tout d'abord et essentiellement, nous nous intéressons champs, aux triangles car ils sont constitués de mieux vaut trois points, non alignés bien sûr. avoir un tabouret les triangles et la traite des normandes à trois pieds. Prenez un tabouret des villes, un de ces objets à quatre pieds qui traînent dans nos cuisines, et partez dans les champ traire une vache. Dans un premier temps, vou pouvez vous exercer san vache. Po ez votre tabouret sur le sol accidenté qui se trouve à vos pieds. Que constatez-vous? Ta:ngen'te Hors-série n°24. Le triangle Quand trois pied ont po és au sol, l'autre est en l'air ce qui le déséquilibre. Sauf coup de chance, votre tabouret est bancal. Pourquoi ? La réponse est mathématique : les trois premiers pieds se posent urt le sol. La position du qua- trième est alors complètement définie. Si le sol ne e trouve pas justement en ce point, le tabouret est bancal. Si vous montez dessu , attention aux accidents ! C'e t encore pire avec une échelle (voir l'encadré L'échelle recommandée par Tangente). Pour éviter ces dangers, la solution est simple : le tabouret à troi pieds sur lequel on s'assoit pour traire les vaches en Normandie comme ailleurs. Cette même solution e t utili ée par le artistes ou les photographes travaillant en extérieur, d'où les chevallets à trois pieds ou le trépieds (voir l'encadré Le chevallet au triangle) . Quelque soit le ol sur lequel vous le po ez, il e t toujour stable. Repérage d'un point par des angles Pour cette seule raison, le triangle mérite l'étude priviliégiée auquelle il a eu droit au cours des mrnénaires qui nous ont précédés. Une raison plus essentielle encore est le repérage des point . Imaginez que vous soyez perdu dans une zone dé ertique. Vous ne dis- posez pas d'un GPS mais d'un appareil de vi ée qui vous permet de calculer les angles. Si, de votre position M, vous pouvez viser deux points connus A et B, calculez l'angle AMB. Par exemple, imaginons que vous trouviez 30°. Savez-vous où vous êtes ? La réponse est non. Vous pouvez seule- ment dire que vous êtes sur un arc de cercle passant par A et B : M B La visée de l'angle entre deux points ne suffit pas pour vous situer. Si vous di posez d'un point supplé- mentaire, vous pouvez parfaitement vous situer de cette manière. Hors-série n° 24. Le triangle Tangente Pourquoi trois points ? B La visée de trois points suffit pour se situer. Repérage d'un point par des distances Vou pouvez fa ire de même en calcu- lant les di tances à plusieurs points. Deux point lai ent une indétermina- tion : vous pouvez être de part et d'autre de la droite les reliant. L'utilisation de troi points ne lai se aucune ambiguïté. A c Connaître la distance d'un point M à trois points ABC permet de le repérer parfaitement Vous pouvez cependant vous passer de connaître ces trois distances. En dévelop- pant la question, on aboutit à la notion de coordonnées barycentriques d'un point. H. L 8 Ta.ngent:e Hors-série n°24. Le triangle par H. Lehning et A. Zalmanski EN BREF Triangles historiques et culturels Le commerce triangulaire À partir de la fin du xvne siècle jusqu'au début du XL Xe siècle, un sini tre commerce triangulaire sévissait entre quatre ports français (La Rochelle, Bordeaux, Le Havre et surtout Nantes), l'Afrique et les Amériques. Les bateaux partaient des ports le triangle d'or Le triangle d'or est fom1é de troi pays comme son nom permet de le deviner : Birmanie, 111a'11ande. Laos. Ce sont effective- ment les principaux producteurs d'opium d'Asie du Sud-Est. Autrefois. l'opium était payé en or, d'ou le nom de cet endroit montagneux. Il va sans dire que malgré les efforts du gou- vernement thaïlandais, cette culture existe français char- gés de paco- tilles que 1 on échangeait en Afrique contre de per onne humaine . Le bateaux e ren- --,,.----., toujours aujourd'hui. Pour être plus daient en uite aux Antille juste, il faudrait parler d'hexagone d'or car la Malaisie, Singapour et les Philippines jouent également un rôle important dans ce trafic. En mathématiques, un triangle d'or pour le y échanger en tant qu'e claves contre des produits tropicaux (café, coton ucre de canne). lis retournaient alors au port pour y vendre ces denrées. Ce trafic était très fructueux, le rendement pouvait atteindre 800 %. Sur leurs regi tre , le marchands, qui n'aimaient pas la qualification de négriers, ~ ~ ~ ..1.1.'!!lflot est un triangle isocèle dont le lon- notaient noirs d' ébene pour dé igner le hommes qu' ils trans- portaient d'Afrique en Amérique. le triangle divin gueurs des côtés sont dan le rap- port du nombre d'or (l'opium n'a rien à voir là-dedans). Le. deux tri- angles d'or possibles ont respectivement des angles à la base de 36° et 72°. Dans la foi chrétienne, tout en étant unique, Dieu se subdivise en trois. C'est le dogme de la Trinité, c'est aussi une propriété du triangle : un objet, trois côtés. C'est pourquoi Dieu est souvent représenté par un triangle, parfois muni d'un œil en son centre. Ce symbole a été repris par les francs maçons auquel il est aujourd'hui associé. Au x1x0 siècle, les esprits forts l'ont réutilisé pour en orner le fond de leurs pots de chambre. Suivant les convictions de cha- cun, leur utilisation constipe ou, au contraire, favorise le transit intestinal. Il s'agit alors d'un laxatif homéopathique et bon mar- ché. Dans d'autres milieux, on retrouve le triangle divin comme porte-bonheur. Ces deux triangles ont été pho- togaphiés à Eger, en Hongrie, dans une église du XVIIIe siècle. Le triangle muni d'un œil sym- bolise Dieu. Que signifie celui muni d'une oreille ? Hors-série n° 24. Le triangle Tangente SAVOIRS par Hervé Lehning La uploads/Geographie/ le-triangle-pdf.pdf