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RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix-Travail-Patrie UNIVERSITÉ DE

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN ********** Paix-Travail-Patrie ********** UNIVERSITÉ DE YAOUNDÉ I *********** ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE YAOUNDÉ I *********** DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES *********** REPUBLIC OF CAMEROON ********** Peace-Work-Fatherland ********** UNIVERSITY OF YAOUNDE I *********** HIGHER TEACHERTRAINING COLLEGE OF YAOUNDE I *********** DEPARTMENT OF MATHEMATICS *********** MATHÉMATIQUES POUR PHYSIQUE II UV MA 408 NGONGO Isidore Séraphin Edition 2019-2020 ENS - Promotion 2020 Table des matières 1 Fonctions spéciales 2 1.1 Fonctions hypergéométriques de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Fonction hypergéométrique de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Fonction hypergéométrique généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Série hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Equation et fonction de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Equation et polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Fonctions de Legendre associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Inégalités 16 2.1 Inégalité de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Inégalités de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Méthode de quadrature de Gauss 23 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Principales conﬁgurations de quadratures de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.5 Généralisation pour un intervalle fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6 Méthode de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 Chapitre 1 Fonctions spéciales 1.1 Fonctions hypergéométriques de Gauss L’origine de la fonction hypergéométrique de Gauss se trouve au début du 19eme siècle , lorques Gauss étudie l’équa- tion différentielle suivante appelée équation différentielle de Gauss : x(1−x)F′′ +(c−(a+b+1)x)F′ −abF = 0 où a,b,c ∈C. Cette équation linéaire qui provient de la physique a trois points singuliers en 0,1 et +∞. On recherche des solutions en série entière : F(x) = n ∑ k=0 ckxk Ck+1 Ck = (k +a)(k +b) (k +c)(k +1) En faisant C0 = 1 on obtient : F(a,b,c;x) = ∞ ∑ k=0 (a)k(b)k (c)k(1)k xk où (α)k désigne le symbole du I2/22 Pochhammer : (α)k = (α)(α +1)(α +2)...(α +k −1),α ∈C,k ∈N∗ (α)0 = 1 (1)k = k! On suppose c / ∈Z La série entière :F(a,b,c;x) = ∞ ∑ k=0 (a)k(b)k (c)k(1)k xk est convergente pour |x| < 1. Les deux fonctions F(a,b,c;x) et x1−cF(a+1−c,b+1−c,2−c−;x) forment une base de l’espace des solutions de l’équation. Théorème 1.1 Si 0 < Reb < Rebc, on a : F(a,b,c;x) = Z 1 0 tb−1(1−t)c−b−1(1−xt)−adt Théorème 1.2 1.2 Fonction hypergéométrique de base F(α,β,γ;z) = +∞ ∑ k=0 (α)k(β)k (γ)k zk k! Déﬁnition 2.1 2 NGONGO Isidore Séraphin - MA 408 1.3 Fonction hypergéométrique généralisée Fq(α1,...,αp;γ1,...,γp) = +∞ ∑ k=0 ∏p i=1(αi)kzk ∏q j=1(γj)kk! Déﬁnition 3.1 1.4 Série hypergéométrique On pose : F(a,b,c;z) = 1+ a.b 1.cz+ a(a+1)b(b+1) 1.2c.(c+1) z2 + a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2) 1.2.3.c(c+1)(c+2) z3 = +∞ ∑ n=0 a(a+1)(a+2)...(a+n−1)b(b+1)(b+2)...(b+n−1) n!c(c+1)...(c+n−1) zn = +∞ ∑ n=0 αnzn On peut réécrire cela sous la forme : F(a,b,c;z) = Γ(c) Γ(a)Γ(b) +∞ ∑ n=0 Γ(a+n)Γ(b+n) Γ(c+n)Γ(n+1)zn Cette serie converge absolument lorsque |z| < 1 (Confère théorème de d’Alembert) Notation La série +∞ ∑ n=0 Un converge absolument si ∃ρ tel que Un+1 Un < ρ Rappel (Convergence absolue) F′(z) = +∞ ∑ n=1 nαnzn−1 = +∞ ∑ n=0 (n+1)αn+1Zn F′(a,b,c,z) = ab c F(a+1,b+1,c+1,z) F(z) satisfait l’équation différentielle suivante : z(1−z)d2F dz2 +(c−(a+b+1)z)dF dz −abF = 0 Théorème 4.1 Quand |z| < 1, la fonction hypergéométrique : F(α,β,γ;z) est déﬁnie comme somme de la série : F(α,β,γ;z) = ∑ k∈N (α)k(β)k (γ)kk! zk = ∑ k∈N (α)k(β)k (γ)k zk k! 3 NGONGO Isidore Séraphin - MA 408 - L’équation différientielle dite hypergéométrique : z(1−z)d2F dz2 +(γ −(α +β +1)z)dF dz −αβF = 0 z(1− z)F′′ +(γ −(α +β +1)z)F′ −αβF = 0 - La fonction hypergéométrique conﬂuente : G(α,γ;z) = +∞ ∑ k=0 (α)k (γ)k zk k! Notation (Symbole de Pochhammer) Fonctions hypergéométriques |z| < 1 F(α,β,γ;z) =de f 2 F1(α,β,γ;z) quand il y’a risque d’ambiguité = 1+ αβ γ + α(α +1)β(β −1) γ(γ +1) z2 2! +...+ = ∑ k∈N (α)k(β)k (γ)k zk k! où F(α,β,γ;z) est invariante dans l’échange des α et β La serie converge uniformément dans le disque unité. F(α,β,γ;z) =de f 2F1(α,β,γ;z) = +∞ ∑ k=0 (α)k(β)k (γ)k zk k!, (α)0 = 0;(β)0 = 0;(γ)0 = 0 On déﬁnit aussi les fonctions hypergéométriques généralisées : pFq(α1,α2,...,αp,β1,β2,...,βq,z) = ∑ k∈N (α1)k(α2)k ...(αp)k (β1)k(β2)k ...(βq)k zk k! On voit sans peine que la fonction F(α,β,γ;z) déﬁnie précédemment statisfait l’équation différentielle dite hypergéo- métrique : z(1−z)d2F dz2 +(c−(a+b+1)z)dF dz −abF = 0 et en consititue uploads/Geographie/ mathematiques 1 .pdf