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i UFR Mathématiques et Informatique MEMOIRE DE MASTER Mention : Mathématiques e

i UFR Mathématiques et Informatique MEMOIRE DE MASTER Mention : Mathématiques et Applications Spécialité : EDP, ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Présenté à L’UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUËT- BOIGNY Par LAGUI BI BOUA THIERRY THEME DU MEMOIRE : Devant le jury Président : M. COULIBALY ADAMA, Maitre de Conférence à UFHB, UFR-MI Directeur : M. DOSSO MOUHAMADOU, Maitre de Conférence à UFHB, UFR-MI Co-Directeur : M. BAHI LOUIS CLEMENT, Maitre-Assistant à UFHB, UFR-MI N°…………………… Année académique 2017-2018 ANALYSE MATHEMATIQUE ET NUMERIQUE DE QUELQUES SYSTEMES DYNAMIQUES NON LINEAIRES : EQUATION DE KORTEWEG-DE VRIES, MODELE DE LOTKA-VOLTERRA ET DES EQUATIONS DE MATHIEU. Master 2, EDP M. LAGUI, bi.lagui@yahoo.com ii Je dédie ce travail : A mon père, A ma mère , A ma grande famille ; je vous aime . M. LAGUI, bi.lagui@yahoo.com UFR MATH-INFO. iii Remerciements Un grand remerciement à mon bon Dieu, L’éternel Dieu des armées. Je veux rendre gloire à ce grand Dieu qui m’accorde sa grâce inﬁnie, qui m’a fourni la volonté, le cou- rage et la patience pour la réalisation de ce travail. Sans lui rien de tout ceci ne verrait le jour. Je tiens tout d’abord à exprimer toute ma gratitude à mon directeur de mémoire, le Professeur DOSSO Mouhamadou pour son aide précieuse, ses idées et ses conseils tout le long de ce mémoire. Il a accepté de me suivre sans condition et de m’aider ; Merci professeur. Je n’oublie pas son collaborateur Docteur BAHI Louis Clément, qui n’a jamais cessé de ma encourager en me poussant chaque fois à redoubler d’eﬀort et d’ardeur au travail. Je tiens aussi à remercier mes parents pour leurs sacriﬁces, ils n’ont jamais cessé de m’encourager et m’ont toujours soutenu dans les moments diﬃciles. Je remercie tous les membres de la famille dont les conseils, les remarques et les encouragements, m’ont été très signiﬁcatifs. Mes remerciements vont également à la famille DOUHO qui m’a accepté en son seins comme l’un des leurs, m’a oﬀert un cadre agréable et adéquat. Que l’éternel, notre Dieu tout puissant vous comble à l’inﬁni. J’adresse une pensée particulière à mes frères, sœurs et amis qui, n’ont cessé de m’apporter leurs soutiens et encouragements. Enﬁn je remercie l’ensemble des enseignants chercheurs de l’UFR Mathématiques et Informatique de l’université Félix Houphouet-Boigny. Ils nous ont accueilli, nous ont apporté une formation rigoureuse et nous ont amené chaque fois, à nous investir dans le travail. Master 2, EDP M. LAGUI, bi.lagui@yahoo.com iv M. LAGUI, bi.lagui@yahoo.com UFR MATH-INFO. Table des matières 1 PRÉSENTATION DES ÉQUATIONS 3 1.1 Équation de Korteweg-de Vries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Système d’équation de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Équation de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES ÉQUATIONS 7 2.1 Équation de Korteweg-de Vries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Étude Analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1.1 Les diﬀérentes notions de solutions . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1.2 Solution faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1.3 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1.4 Hamiltonien de l’équation de KDV . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1.5 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Étude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 Étude numérique de l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3.2 Implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3.3 Consistance et précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3.4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Système d’équation de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Étude Analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1.1 Existence et positivité des solutions . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1.2 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1.3 Recherche des points d’équilibre : . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1.4 Stabilité des états d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1.5 calcul des densités moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Étude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Équation de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Étude Analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Multiplicateurs de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Master 2, EDP M. LAGUI, bi.lagui@yahoo.com vi TABLE DES MATIÈRES 2.3.2.1 Application à l’équation de Mathieu . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.3 Étude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 SIMULATION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS 39 3.1 Résultats de la simulation : équation de KDV . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Résultats de la simulation :Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Résultats de la simulation : équation de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . 43 A 49 A.1 Les programmes matlab pour la partie simulation . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.1.1 programme pour l’équation de Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.1.1.1 programme 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.2 Les programmes sous scilab pour la partie simulation . . . . . . . . . . . . . 51 A.2.1 programmes pour équation de KDV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.2.1.1 programme 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.2.1.2 programme 2 . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ memoire-lagui-bi.pdf