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Modélisation de la dispersion chromatique et de l’atténuation dans les ﬁbres mi

Modélisation de la dispersion chromatique et de l’atténuation dans les ﬁbres microstructurées à coeur suspendu Mémoire Pierre-Louis Gagnon Maîtrise en mathématiques Maître ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada © Pierre-Louis Gagnon, 2016 Résumé D’abord, nous présentons les principes physiques nous permettant de modéliser et com- prendre le phénomène de propagation linéaire des impulsions lumineuses dans un milieu homogène, dans les guides d’ondes planaires et enﬁn dans les ﬁbres optiques microstructu- rées. Ensuite, nous faisons une analyse mathématique rigoureuse des équations linéaires de pro- pagation et posons le problème comme celui de la recherche de valeurs propres d’opérateurs auto-adjoints dans un espace de Hilbert. On verra que ces résultats théoriques s’appliquent aux équations simulées dans le logiciel Comsol Multiphysics. Enﬁn, nous recensons et proposons différentes façons de prédire les valeurs de dispersion chromatique et d’atténuation dans les ﬁbres microstructurées à coeur suspendu en utilisant les notions et équations discutés dans les deux premiers chapitres. Le choix de la géométrie, du matériau et de la longueur d’onde de la lumière transmise sont parmi les variables étu- diées numériquement. Nous ferons également un exemple détaillé d’utilisation du logiciel Comsol Multiphysics pour construire un modèle de ﬁbre optique microstructurée. iii Table des matières Résumé iii Table des matières v Liste des ﬁgures vii Nomenclature ix Remerciements xiii 1 Introduction 1 1.1 Nature de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Électromagnétisme et équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Relations constitutives et polarisation électrique . . . . . . . . . . . 3 1.3 Matériaux pour l’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Condition d’interface pour le champ électrique . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Modèle de Lorentz et formule de Sellmeier . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Milieu homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Superposition d’ondes planes monochromatiques . . . . . . . . . . 13 1.5 Milieu non-homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Guide d’ondes optiques planaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Dispersion et vitesse de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3 Fibres optiques microstructurées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Analyse spectrale du problème de modes dans les ﬁbres optiques 23 2.1 Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Espaces fonctionnels et opérateurs de base pour ﬁbres optiques . . 23 2.1.2 Déﬁnition des modes guidés, de radiation et de fuite . . . . . . . . 27 2.1.3 Reformulation du problème de mode guidé . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.4 Formulation de β(ω) versus ω(β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Analyse spectrale avec le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Bornes sur les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Spectre essentiel des ﬁbres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 Application du principe du min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.4 Théorème d’existence de valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Généralisation au cas tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 v 3 Simulation par éléments ﬁnis de ﬁbres à coeur suspendu 41 3.1 Modélisation numérique de la dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1 Simpliﬁcation du cas vectoriel au cas scalaire . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2 Utilisation d’une couche absorbante parfaitement adaptée (PML) . 42 3.1.3 D’une ﬁbre à coeur suspendu vers une ﬁbre à saut d’indices . . . . 43 3.1.4 Discussion des résultats numériques sur la dispersion . . . . . . . . 43 3.2 Modèles numériques des pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1 Modéliser chaque source de pertes séparément . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2 Simulation bidimensionnelle versus tridimensionnelle . . . . . . . 49 3.3 Inﬂuence des impuretés sur le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Inﬂuence des paramètres géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5 Utilisation du logiciel Comsol Multiphysics 4.3b . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.1 Création du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.2 Conﬁguration du modèle vectoriel dans le cas bidimensionnel . . . 57 3.5.3 Résolution du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5.4 Visualisation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Conclusion 65 A Rappels d’analyse fonctionnelle 67 A.1 Théorie des opérateurs non-bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 A.1.1 Opérateurs fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A.1.2 Opérateurs symétriques et auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . 68 A.2 Théorie spectrale dans des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 A.2.1 Mesure et intégrale spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 A.2.2 Calcul fonctionnel pour opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . 73 A.2.3 Formes hermitiennes, coercives et fermées . . . . . . . . . . . . . . 74 A.2.4 Principe du min-max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 A.2.5 Applications à l’opérateur du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . 75 A.2.6 L’importance de bien poser le problème . . . . . . . . . . . . . . . . 76 A.3 Dérivation au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 A.4 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ modelisation-de-la-dispersion-chromatique-et-de-l-x27-attenuation-dans-les-fibres-microstructurees-a-coeur-suspendu.pdf