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Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d’Economie Appliquée, ENSSEA THESE

Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d’Economie Appliquée, ENSSEA THESE POUR L’OBTENTION DU DIPPLOME DE DOCTORAT ES-SCIENCES EN ECONOMIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE Présentée par Mme KERDALI Abida Sujet de la thèse : MODELISATION STOCHASTIQUE DES PROVISIONS TECHNIQUES EN ASSURANCE NON-VIE Modèles Récursifs de provisionnement Soutenue le 01 juin 2017, devant le jury composé de : KHERCHI Hania Présidente Professeur ENSSEA LATRECHE Abdelouahab Rapporteur Professeur ENSSEA BENAMIROUCHE Rachid Examinateur Professeur ENSSEA BENANAYA Djelloul Examinateur Maître de Conférences, A U. Khemis Miliana REZAZI Omar Examinateur Professeur U. Blida RIMI Riadh Examinateur Maître de Conférences, A U. El Oued Année universitaire 2016-2017 Dédicace Page 1 Je dédie ce travail à : Mon cher mari Mes chers enfants Mes frères et sœurs. Mes amies et collègues A toutes les personnes auxquelles je réserve une place dans mon cœur. Remerciements Page 2 Je voudrais remercier toutes celles et tous ceux, qui directement ou indirectement, ont contribué à la concrétisation de ce travail de recherche. Je tiens à remercier tout particulièrement mon directeur de thèse, le professeur LATRECHE ABDELOUAHAB de m’avoir proposé le sujet, pour son intérêt, ses précieux conseils et son aimable disponibilité et la qualité de son encadrement. Je souhaite aussi remercier les membres du jury qui me font le grand honneur d’évaluer ce travail, particulièrement Mme Hania Kherchi Professeur à l’ENSSEA qui a bien voulu accepter d’examiner ce travail en qualité de présidente du jury. Un gros et spécial remerciement à Mme Aouira Saliha et Mahdi Sami pour leur aide et coopération. Enfin, j’adresse mes plus sincères remerciements à tous mes proches et amies qui m’ont toujours soutenue et encouragée au cours de la réalisation de ce travail. Résumé Page 3 Nous considérons dans ce travail un certain nombre de méthodes et modèles de réservation récursives pour le calcul stochastique des provisions techniques dans une compagnie d’assurance. Pour cela nous avons considéré plusieurs types de modèles possibles pour l’estimation des valeurs du triangle de développement ; nous nous sommes inspirés d’une modélisation autorégressive d’ordre 1, 2, 3 selon le modèle choisi, nous proposons au début une méthode permettant de déterminer un estimateur des paramètres du modèle proposé d’une manière directe, c’est-à-dire que le calcul n’est pas récursif, hors l’inconvénient de cette méthode est qu’elle nécessite l’inversion d’une matrice de grande taille ce qui est très couteux en temps de traitement du programme si le nombre de paramètre à estimer est grand, pour résoudre ce problème, nous avons proposé une seconde méthode qui améliore beaucoup la première permettant de calculer récursivement les paramètres du modèle proposé évitant l’inversion d’une matrice de grande taille, seulement il faut prendre quelques précautions pour que cet estimateur ne s’éloigne pas trop de la vraie valeur des paramètres à estimer puisque les méthodes récurrentes sont très sensibles aux valeurs initiales. Pour bien comprendre quels sont les effets du modèle de réservation récursive, nous avons comparé les résultats obtenus avec celles des modèles classiques de provisionnement. Mots clés : modélisation stochastiques, provisions techniques, modèle de réservation, assurance non-vie ; estimation récursive. Abstract Page 4 We consider in this work several models and recursive methods for stochastic calculation of technical provisions in non–life insurance. For this, we consider several types of models for estimating the values of development triangle; we were inspired by an autoregressive modeling of order 1, 2, 3. At beginning, we propose a method for determining directly a parameter estimator of the proposed model, i.e. the calculation is not recursive. However, the disadvantage of this method is that it requires the inversion of a large matrix which is very expensive in program execution’s time if the number of parameter to be estimated is greater. To resolve this problem, we proposed a second method that improves the first and compute recursively the parameters of the proposed model avoiding the inversion of a large matrix, but we must take some precautions so that this estimator does not diverge of its real value, since the recursive methods are very sensitive to initial values. To understand what the effects of the recursive reservation models are, we compared the results with those of the classical provisioning models. Keywords: stochastic methods, technical provisions, non–life insurance, reserving models, recursive estimation. Table des Matières Page 5 Tables des Matières Introduction générale ………………………………………………………………….……… 8 Chapitre 1 : Aspects généraux sur l’assurance …………………………………………….. 15 Introduction …………………………………………………………………………………….. 16 1.1 Histoire de l’assurance ……………………………………………………………………... 17 1.2. Définitions et concepts de base de l’assurance ……………………………………………. 19 1.2.1. L’assurance ………………………………………………………………………... 19 1.2.2. Le contrat d’assurance …………………………………………………………….. 19 1.2.3. Le risque …………………………………………………………………………… 20 1.2.4. La prime …………………………………………………………………………… 20 1.2.5. Le sinistre …………………………………………………………………………. 21 1.3. Classification des différentes branches d’assurance ………………………………………. 21 1.3.1. Assurance vie …………………………………………………………………….. 21 1.3.2. Assurance non-vie ………………………………………………………………… 22 1.3.2.1. Typologie des différentes assurances non-vie ……………………………. 22 1.3.2.2. La gestion et la distribution en assurance non-vie ………………………. 23 1.3.2.3. Les principales opérations constituant l’activité d’une société non-vie …. 23 1.3.2.4. Aspect économiques et financiers ………………………………………… 25 1.3.2.5. Les flux et le résultat d’un exercice comptable ………………………... 26 Chapitre 2 : Provisionnement en assurance non-vie ………………………………………. 27 Introduction …………………………………………………………………………………….. 28 2.1. Le provisionnement en assurance non-vie ………………………………………………… 29 2.1.1. Typologie des provisions techniques …………………………………………….. 31 2.1.1.1. Définition des provisions techniques …………………………………….. 31 2.1.1.2 Type de provisions techniques …………………………………………..… 31 2.1.2. Les méthodes réglementaires de provisionnement ………………………….……. 34 2.2 Formulation du problème de provisionnement …………………………………………..… 36 2.2.1. Quelques définitions et notations, aspects réglementaires et comptables ……..… 36 2.2.1.1. Solvabilité d’un assureur ………………………………………………….. 36 2.2.1.2. L’insolvabilité d’un assureur …………………………………………….. 37 2.2.1.3. La marge de solvabilité ……………………………………………….….. 37 Table des Matières Page 6 2.2.1.4. Les catégories de risques ……………………………………………….… 37 2.2.2. Notions de sinistres …………………………………………………………….… 38 2.3. Triangle de liquidation …………………………………………………………………….. 41 2.3.1. Structure du triangle de développement …………………………………...…….. 41 2.3.2. Lecture du triangle ……………………………………………………………..…. 42 Conclusion partielle ……………………………………………………………………….…… 44 Chapitre 3 : Méthodes déterministes pour l’estimation des provisions techniques …….... 45 Introduction ………………………………………………………………………………..…... 46 3.1. La problématique du provisionnement ……………………………………………...…….. 47 3.2. Méthode Chaine–Ladder …………………………………………………………….…….. 48 3.2.1. Présentation de la méthode ……………………………………………….………. 48 3.2.2. Avantages et limites de Chaine–ladder …………………………………...……… 51 3.3. Méthode de London Chaine ………………………………………………………………. 53 3.3.1. Limite de la méthode de « London Chaine » ………………………………..…… 54 3.4. Méthode des moindre carrée de De Vylder …………………………………………..…… 55 3.4.1. Hypothése de la méthode …………………………………………………..………55 3.4.2. Procédure d’estimation de la méthode De Vylder ………………………..……… 55 3.5. Méthode de Bornuhetter -Fergusoon déterministe …………………………………...…… 56 3.5.1. Avantages et limites de la méthode Bornuhetter- Fergusoon ………………..…… 57 3.6. La méthode de « Grossing-Up » ……………………………………………………...…… 59 Conclusion partielle ……………………………………………………………………………. 59 Chapitre 4 : Méthodes actuarielles stochastiques de provisionnement ……………….….. 61 Introduction ……………………………………………………………………………………. 62 4.1. Modèle de Mack ……………………………………………………………………….… 63 4.1.1. Mesure de l’incertitude sur l’estimation des provisions …………………….…… 64 4.1.1.1. Estimation de la variance des provisions …………………………….…... 64 4.1.1.2. Mesure de risque à l’ultime : Indicateur du MSE …………………..….. 65 4.1.1.3. Erreur quadratique moyenne : « MSE » ……………………………..…… 65 4.2. Méthode de BOOSTRAP ………………………………………………………………….. 67 4.2.1. Présentation de la méthode …………………………………………………….….. 67 4.3. Les modèles factoriels stochastiques ……………………………………………………… 69 4.3.1. Le modèle log- linéaire de Christophide …………………………………………. 69 4.4. Inconvénients et avantages des méthodes stochastiques ……………………………..…… 70 Table des Matières Page 7 Conclusion partielle ……………………………………………………………………...…. 71 Chapitre 5 : Modélisation Récursive des réserves ………………………………………….. 72 Introduction ……………………………………………………………………………….……….…. 73 5.1. Présentation des modèles ………………………………………………………………….……. 74 5.2. Intérêt des algorithmes récurrents ………………………………………………..……………. 74 5.3. Méthode des moindres carrées récursive et application aux réserves …………….………...… 76 5.4. Estimation récursive des réserves ………………………………………………………………. 77 5.4.1. Modèles ……………………………………………………………………………….…… 78 5.4.2. Estimation ………………………………………………………………………...…… 80 5.4.3. Choix des valeurs initiales ………………………………………………….…….. 85 5.4.3.1. Choix de 1 ˆ  ………………………………………………………………. 85 5.4.3.2. Choix de 1 P ………………………………………………………..……… 85 5.4.4. Facteur d’oubli ………………………………………………………………….… 85 Chapitre 6 : Expérimentations numériques …………………………………………..……. 87 6.1. Présentation des données ………………………………………………………………….. 88 6.2. Données générées aléatoirement ………………………………………………………….. 92 6.3. Données du marché I ………………………………………………………...……………. 95 6.4. Données du marché II …………………………………………………………………….. 99 6.5. Données du marché III ………………………………………………………………..…. 103 6.6. Données du marché IV ………………………………………………………………..…. 107 6.7. Données du marché V ………………………………………………………………….… 108 Conclusion générale ……………………………………………………………………….… 110 Références ………………………………………………………………………………….… 113 Annexes …………………………………………………………………………………….… 116 Annexe A : Résultats détaillés des expérimentations numériques des données A ………..….. 116 Annexe B : Résultats détaillés des expérimentations numériques des données B ………….... 125 Annexe C : Preuve ……………………………………………………………………….…… 146 Annexe D : Programme MATLAB 7 …………………………………...……………………. 148 Introduction générale Page 8 Introduction générale La théorie de l’assurance s’inscrit dans le cadre de la théorie des choix en avenir incertain. Dans sa version la plus simple elle se présente comme un cas particulier où la fonction objectif de l’agent ne dépend que d’un seul paramètre, à savoir sa richesse finale qui est aléatoire. En effet, dans la théorie de l’assurance on s’intéresse à la possibilité d’occurrence d’un événement susceptible d’affecter la richesse finale de l’agent ou son utilité. Une assurance est généralement décrite comme un service fournissant une prestation à la survenance d’un sinistre. La prestation, généralement de nature financière est destinée à des assurés de différentes catégories juridiques : il peut s’agir d’une entreprise, d’une association ou d’un particulier. Toutefois en échange de cette « protection » chaque assuré s’engage à verser auprès uploads/Geographie/ modelisation-stochastique-des-provisions-pdf.pdf