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République du Cameroun Republic of Cameroon Paix – Travail – Patrie Peace – Wor

République du Cameroun Republic of Cameroon Paix – Travail – Patrie Peace – Work – Fatherland UNIVERSITE DE DOUALA THE UNIVERSITY OF DOUALA FACULTE DE GENIE INDUSTRIEL INDUSTRIAL ENGINEERING FACULTY Tél: (237) 33 01 41 30 /31 www.fgi-ud.com B.P. 2701 Douala, Cameroun République du Cameroun Republic of Cameroon Paix – Travail – Patrie Peace – Work – Fatherland UNIVERSITE DE DOUALA THE UNIVERSITY OF DOUALA FACULTE DE GENIE INDUSTRIEL INDUSTRIAL ENGINEERING FACULTY Tél: (237) 33 01 41 30 /31 www.fgi-ud.com B.P. 2701 Douala, Cameroun Rédigé et présenté par : MODJO KAMGAING CHRISTIAN LANDREY MATRICULE : 14G00150 FILIERE TCI AXE CM Sous la supervision académique de : Dr. MOUANGUE Ruben RESOLUTION MANUELLE ET NUMERIQUE D’UN PBROBLEME DE DIFFUSION DE CHALEUR AVEC SOURCE MECANIQUE DES FLUIDES NUMERIQUE Année académique 2018-2019 Table des matières : INTRODUCTION :........................................3 I. PRESENTATION DU PROBLEME :........4 II......................RESOLUTION MANUELLE : 4 III.RESOLUTION NUMERIQUE :...............5 IV.GRAPHE DES TEMPERATURES ET INTERPRETATIONS :..................................8 CONCLUSION :..........................................10 p. 2 INTRODUCTION : Ce travail consiste à étudier le transfert de chaleur dans un système. La conduction est un mode de transfert qui résulte d’un transfert d’énergie cinétique d’une molécule à une autre molécule adjacente. Pour cela, la chaleur se déplace toujours du point le plus chaud vers le point le moins chaud. Il sera donc question pour nous de résoudre un problème de conduction thermique : manuellement, puis numériquement (par programmation en un langage tel que Matlab, Fortran, tec.) et enfin comparer les solutions (courbes) obtenues par les deux méthodes. p. 3 I. PRESENTATION DU PROBLEME : Nous avons une barre cylindrique ayant les températures T A et T B (T A>T B) à chacune de ses extrémitées. La chaleur va donc se propager de A vers B. La formulation mathématique de ce problème est donc l’équation différentielle suivante : ∂ 2T ∂x 2 =Q Les données initiales sont les suivantes : I=1 A ;T A=310 K;T B=300 K et L=1m. Pour notre travail, nous prendrons une source de chaleur Q=20 ISU II. RESOLUTION MANUELLE : Nous devons résoudre l’équation différentielle suivante : ∂ 2T ∂x 2 =Q On : ∂ 2T ∂x 2 =constante =constante, ainsi en faisant une double intégration, nous trouvons : T(x) = 1 2Qx 2 +Ax + B, avec A, B des constantes à déterminées p. 4 I Pour x = 0, on a : T(0) = T(A) = 310 ainsi B = 310 Pour x = 1m, on a T(1) = T(B) = 300 ainsi 1 2Q(1) 2 +A*1 + 310 = 300 ; ainsi A = −(20+Q) 2 Ainsi la solution analytique ou la solution théorique générale est donnée par : T(x) = 1 2Qx 2 +−(20+Q) 2 x + 310 Avec Q supposé égal = 20 (source de chaleur) III. RESOLUTION NUMERIQUE : Pour cette partie, nous utiliserons la méthode des différences finies. La méthode consiste à discrétiser le domaine en de petits intervalles délimités par des points xi appelés points du maillage. On divise le domaine en n+2 points et on détermine le pas constant ∆x du maillage qui est la distance entre deux interfaces consécutives : pasdumaillage=∆x= L n+1 Ici on notera T i la température à l’interface i ou au point xi; L’expression du Laplacien de T par différence finie est : ∂ 2T (x) ∂x 2 ≈T i+1−2T i+T i−1 (∆x ) 2 En remplaçant dans l’équation différentielle de départ, on obtient la formulation mathématique discrète ci-après : Ti+1−2T i+T i−1 ∆x 2 =Q i=interface;i ϵ [1,n] On a Q=cte p. 5 T i+1−2T i+T i−1 = Q∆x 2 En détaillant cette équation, on obtient le système suivant : { T 0−2T1+T 2=Q ∆x 2 T 1−2T 2+T3=Q ∆x 2 T3−2T 4+T 5=Q ∆x 2 . . Ti−1−2T i+Ti+1=Q ∆x 2 . . . Tn−1−2T n+Tn+1=Q ∆x 2 L’écriture sous forme matricielle est : [ −2 1 0 1 −2 1 0 1 −2 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ −2 1 1 −2][ T 1 T 2 T 3 . . . . . . T n−1 T n] = [ Q ∆x 2−T0 Q ∆x 2 Q ∆x 2 . . . . . . Q ∆x 2 Q∆x 2−T n+1] Et donc on obtient l’équation : AT=C Avec  A la matrice n×n tri diagonale ;  C le vecteur uni colonne à n lignes. Le vecteur des températures T s’obtient donc d’après la formule ci-après : T=A −1(C ) RESOLUTION SUR MATLAB : L = 1; %longueur en mètre p. 6 1 1 1 Te=310; %temperature en entrée Ts=300; %température en sortie I = 1; %intensité du courant q = input('Svp entrez la valeur de la source de chaleur Q ='); interface = input('SVP entrez le nombre d''interfaces. n ='); pas2 = input('Svp entrez la valeur du pas theorique p ='); n =interface-1; pas = L/n; M = zeros(n-1,n-1); T= zeros(n-1, 1); C = zeros(n-1, 1); c = pas*pas*q; C = c*ones(n-1, 1) + C; C(n-1,1)= c -Ts; C(1,1)= c -Te; for i = 1:n-1, M(i,i) = -2; end M; for i=1:n-2, M(i, i+1) =1 ; end M; for i=1:n-2, M(i+1, i) =1 ; end M; T = inv(M)*C; p. 7 Tb = zeros(1, n-1); for i = 1:n-1; Tb(1, i) = T(i,1); end Tb; Tbb = [ Te, Tb, Ts]; x1=0:pas:1; x=0:pas2:1; f = 0.5 *q*x.^2 -((q+20)/2)*x + 310; figure(1) plot(x1,Tbb,'r'); xlabel('L''espace') ylabel('Les Temperatures') title('Courbe Numerique et Analytique') hold on plot(x, f, 'b') title('Courbe Analytique') IV. GRAPHE DES TEMPERATURES ET INTERPRETATIONS : Le tracé de ces deux solutions (courbes) sur Matlab donne : Courbes pour nombre de points d’interpolation numérique n=600, pas numérique = 0.0016 et pour un pas théorique = 0.3 p. 8 Courbes pour nombre de points d’interpolation numérique n=2000, pas numérique = 0.0005 et pour un pas théorique = 0.2 p. 9 Courbes pour nombre de points d’interpolation numérique n=3500, pas numérique = 0.00028 et pour un pas théorique = 0.125 Interprétation : on constate qu’au fur et à mesure que le nombre de points de maillage augmente (c’est-à-dire que le pas diminue), la solution numérique se rapproche de plus en plus à la solution calculée manuellement. p. 10 CONCLUSION : En définitive, il était question pour nous de résoudre manuellement et numériquement la formulation mathématique (équation différentielle) traduisant un problème de transfert de chaleur par conduction, à travers une barre soumise à une source de chaleur. Au vu des résultats obtenus, nous constatons que plus le nombre de points du maillage est grand (c’est-à-dire que le pas du maillage est petit), plus on minimise l’erreur ; et par conséquent la solution numérique se rapproche de plus en plus à la solution réelle. p. 11 uploads/Geographie/ mon-devoir-modjo.pdf