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page de garde المملكة المغربية ROYAUME DU MAROC Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres Présidence du Concours National Commun École Mohammadia d'Ingénieurs CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission dans les Établissements de Formation d'Ingénieurs et Établissements Assimilés Session 2014 ÉPREUVE DE PHYSIQUE I Filière MP Durée 4 heures Cette épreuve comporte 07 pages au format A4, en plus de cette page de garde L'usage de la calculatrice est autorisé Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP • On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant claire- ment les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Toutes les réponses devront être très soigneusement justiﬁées. • Si un résultat donné par l’énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de chaque problème sont relativement indépendantes entre elles. L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Problème I – Étude d’un pendule On considère un pendule pesant (P), dans le champ de pesanteur terrestre ⃗ g = g⃗ ez uniforme, constitué : - d’une tige (T) de forme cylindrique, de longueur l = OC, de dimension latérale négligeable devant sa longueur et de masse mT. Le moment d’inertie de la tige par rapport à son extremité est JT = mTl2 3 ; - d’un disque (D) de rayon a, de centre C et de masse mD. Le moment d’inertie du disque par rapport à son axe de révolution est JD = mDa2 2 . Le disque (D) est solidaire à l’extremité inférieure C de la tige (T). Le pendule (P) est en mouvement de rotation, via une liaison pivot parfaite de centre O, autour de l’axe ho- rizontal (Oy) passant par l’extrémité supérieure O de la tige (T) et perpendiculaire au plan de la ﬁgure 1. La position du pendule (P) est repérée par l’angle θ que fait son axe de symétrie avec l’axe vertical (Oz) du référentiel terrestre R(O, x, y, z, t) supposé galiléen. ﬁgure 1.1 À l’instant choisi comme origine des temps, le pendule est abandonné avec les condi- tions initiales θ(t = 0) = θ0 et dθ dt (t = 0) = 0. On associe au référentiel (R) la base cartésienne (⃗ ex,⃗ ey,⃗ ez). On néglige tout frottement (sauf dans la question 16) et on étudie le mouvement du pendule dans le plan vertical (Oxz). 1. Qu’appelle-t-on référentiel galiléen ? 2. Déﬁnir le référentiel terrestre. Citer une expérience historique qui a permis de mettre en évidence le caractère non galiléen de ce référentiel. Justiﬁer que dans notre étude, ce référentiel peut être considéré galiléen. 3. Que signiﬁe "liaison pivot parfaite de centre O" ? Quelles conséquences cela a-t-il ? Épreuve de Physique I 1/7 Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP 4. En utilisant le théorème d’Huygens, calculer le moment d’inertie JP du pendule par rapport à l’axe de rotation (Oy). 5. Déterminer le vecteur vitesse de rotation − → Ω(P/R) du pendule et le vecteur vitesse − → V (G/R) du centre de masse G du pendule dans le référentiel (R). 6. Parmi les forces appliquées au pendule, il y a la poussée d’Archimède. Donner les caractéristiques de cette force. Cette force sera négligée dans la suite de l’étude. Justiﬁer qu’il est légitime de la négliger. 7. Quelles sont les forces appliquées au pendule (P) ? Calculer le travail de chaque force. En déduire que le système étudié est conservatif et donner l’expression de son énergie potentielle Ep. On choisit l’origine des énergies potentielles Ep(θ = 0) = 0. 8. Exprimer l’énergie cinétique Ec et l’énergie mécanique Em du pendule dans le référentiel d’étude. 9. Établir l’équation diﬀérentielle du mouvement du pendule. Le pendule étudié est-il un système linéaire ? Justiﬁer. 10. Retrouver l’équation établie dans la question précédente en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au pendule (P). 11. Montrer que, lorsque l’énergie mécanique est telle que 0 < Em < E0, le mouvement du pendule pesant est oscillatoire et ne peut avoir lieu que si θ ∈[−θm, +θm]. Donner l’expression de E0. Exprimer la période T(θm) d’oscillation du pendule sous forme d’une intégrale en précisant les bornes d’intégration. 12. Représenter dans l’espace des phases (θ, dθ dt ) les trajectoires possibles pour diverses valeurs de l’énergie mécanique Em. On distinguera les deux cas Em < E0 et Em > E0. Quelle est la nature du mouvement dans le cas Em > E0 ? Comment reconnaît- on, dans l’espace des phases, une position d’équilibre, stable ou instable ? 13. À quelle condition l’énergie potentielle est harmonique ? Donner dans ce cas la loi de variation de θ en fonction du temps. Exprimer la pulsation ω0 caractérisant le mouvement du pendule. Quelle est la longueur L du pendule simple équivalent qui permet de faire osciller un objet ponctuel de masse m = mD + mT avec la même période que le pendule (P) ? 14. Proposer un montage simple permettant de relever automatiquement et de visua- liser la position angulaire θ(t) du pendule sur l’écran d’un ordinateur. 15. Le montage de la question précédente permet d’obtenir le graphe de la ﬁgure 2. Commenter et justiﬁer l’allure de θ(t). Quel est le régime d’évolution de l’oscilla- teur ? 16. Pour expliquer le résultat obtenu dans la question précédente, on reste dans le cadre de l’hypothèse de l’énergie potentielle harmonique et on se place dans le cas où les frottements de l’air sur le disque ne sont plus négligeables et sont modéli- sables par une force − → F = −α⃗ v, où ⃗ v est la vitesse du disque dans le référentiel d’étude et α est une constante positive. Épreuve de Physique I 2/7 Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP 16.1. Montrer que l’équation diﬀérentielle à laquelle obéit θ peut se mettre sous la forme : d2θ dt2 + β dθ dt + γθ = 0. Exprimer β et γ et donner leur dimension. 16.2. Montrer que la solution de cette équation diﬀérentielle peut se mettre sous la forme : θ(t) = f(t). exp(−t/τ), où τ est une constante que l’on exprimera en fonction des données. Sans chercher à expliciter la fonction f(t), décrire brièvement les diﬀérents régimes du mouvement du pendule. 16.3. À quelle(s) condition(s) sur α aura-t-on f(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) ? Exprimer alors les constantes c1, c2 et ω en fonction des données. On suppose cette condition vériﬁée dans la suite. 16.4. Que devient l’allure du portrait de phase tracé dans la question 12 si l’on tient compte de la force de frottement − → F = −α⃗ v ? 17. Le pendule (P) est assimilé maintenant à un pendule simple de masse m ponctuelle montée sur une tige indéformable de longueur L = O′A et de masse négligeable. Ce pendule est ﬁxé via une liaison pivot parfaite sur un chariot (C) de masse M et de centre d’inertie O′. Le chariot (ﬁgure 1.3) est un solide libre de se déplacer sans aucun frottement sur le plan horizontal (Oxy) le long de l’axe (Ox). Le pendule est libre d’eﬀectuer un mouvement de rotation dans le plan vertical (Oxz) autour de l’axe (O′y). Sa position est repérée par l’angle θ que fait la tige (O′A) avec l’axe vertical (O′z) du référentiel terrestre R(O, x, y, z, t) supposé galiléen. On repère la position du chariot (C) par l’abscisse xC de O′ et celle de la masse m par l’abscisse xA. À l’instant choisi comme origine des temps, le chariot et le pendule sont abandon- nés avec les conditions initiales θ(t = 0) = θ0, dθ dt (t = 0) = 0, xc(t = 0) = x0 et dxc dt (t = 0) = 0. Épreuve de Physique I 3/7 Concours National Commun – Session 2014 – Filière MP 17.1. Quelle relation y a-t-il entre les deux coordonnées xA et xC ? 17.2. En appliquant le théorème de la résultante cinétique au système (Σ) = {(P), (C)} dans le référen- tiel terrestre R(O, x, y, z, t), établir une intégrale première du mouve- ment. Commenter. ﬁgure 1.3 17.3. Exprimer l’énergie cinétique Ec(Σ), l’énergie potentielle Ep(Σ) et l’énergie mécanique Em(Σ) du système (Σ). Justiﬁer que Em(Σ) est une constante du mouvement. 17.4. On pose λ = m m + M et ω0 = r g L. À partir des équations établies dans les deux questions précédentes, établir l’équation diﬀérentielle vériﬁée par θ. 17.5. On cherche pour solution des petites oscillations sinusoïdales du type θ(t) = A cos(Ωt+Φ). En faisant les approximations convenables, linéariser l’équation diﬀérentielle du mouvement du pendule et déterminer la pulsation des petites oscillations. Soumettre le résultat à des critères de pertinence en distinguant les deux cas M ≫m et M ≪m. uploads/Geographie/ partie-rayonnement.pdf