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Projet expérimental de Physique Statistique ETUDE D’UN JET TURBULENT Cyclone He

Projet expérimental de Physique Statistique ETUDE D’UN JET TURBULENT Cyclone Helena Turbulences océaniques Ecoulement turbulent autour d’une voiture Ecoulement turbulent autour d’un oiseau Eruption du volcan Asama (Japon), 1973 jet turbulent 1. Introduction La grande majorité des écoulements fluides rencontrés dans la vie de tous les jours sont turbulents. On peut citer en exemple : les écoulements d’air autour des ailes d’avion ou des voitures, les courants océaniques, les mouvements des masses atmosphériques, et même les écoulements sanguins dans notre corps. 2. Rappels d’hydrodynamique générale 2.1 Equation de Navier-Stokes L’équation de Navier-Stokes de la dynamique d’un fluide newtonien incompressible s’écrit : ρ Dv Dt = ρ(∂v ∂t + v⋅∇v) = ρg −∇P+ µDv (Eq.2 1) où ρ désigne la masse volumique du fluide et µ sa viscosité dynamique (unité SI : Pa.s) Cette équation est l’équivalent de l’équation de Newton en mécanique, pour un système physique constitué par une particule fluide (les éléments de l'équation sont des forces par unité de volume). Les termes cinématiques sont dans le membre de gauche. Le terme v. ∇v est un terme convectif inertiel, dû au fait qu’on a un système fluide. On parle parfois de force inertielle pour le terme ρ v. ∇v. Dans le membre de droite, on a les forces par unité de volume exercées sur la particule fluide : dans l’ordre, on trouve les forces de gravité, de pression et de viscosité. L’équation de Navier-Stokes étant a priori non linéaire, à cause de la présence du terme inertiel, elle est en général difficile à résoudre, et rien n’indique qu’il existe une unique solution (pour des conditions aux limites données). Pour tester la stabilité d'une solution donnée, on peut lui ajouter une petite perturbation et voir si cette perturbation est amplifiée, ou au contraire si elle va se résorber. Note : un fluide est considéré comme incompressible lorsque le nombre de Mach est inférieur à 0.3. Celui-ci est défini comme : Mach = U c où U est une vitesse typique de l’écoulement considéré et c est la vitesse du son dans le fluide considéré. La traduction mathématique de l’incompressibilité est divv = 0. 2.2 Ecoulements laminaires et turbulents, nombre de Reynolds Le nombre de Reynolds est un nombre qui caractérise l’importance du terme convectif de l’équation de Navier-Stokes par rapport au terme visqueux. En effectuant le rapport en ordre de grandeur des deux termes correspondants on obtient : ν µ ρ UL UL = = = visqueuse foρce iνeρtielle foρce Re (Eq.2.2) où U et L sont respectivement une vitesse et une dimension caractéristiques de l’écoulement, ν est la viscosité cinématique du fluide, définie par υ = µ /ρ (remarquons que ν a la dimension d’un coefficient de diffusion, soit des m2 s-1.) Fig 2.1 : Ecoulement autour d’un cylindre, à nombre de Reynolds croissant de gauche à droite En général, dans un écoulement donné, il existe un nombre de Reynolds critique ReC (il s’agit plutôt d’une gamme de nombres que d’un nombre précis) dépendant de la géométrie de l’écoulement tel que : Pour Re << ReC l’écoulement est laminaire, ce qui signifie que le terme visqueux l’emporte sur le terme convectif non linéaire ; l’équation de Navier-Stokes est alors linéaire, et ses solutions sont uniques et stables. Pour Re >> ReC l’écoulement est turbulent, le transport de quantité de mouvement par convection l’emporte sur le terme visqueux. L’équation de Navier-Stokes est alors non linéaire et plus difficile à résoudre a priori. De plus, les solutions peuvent être instables. Remarque : la valeur de ReC diffère beaucoup suivant la géométrie de l’écoulement. Ainsi, pour un écoulement tridimensionnel autour d’un objet sphérique, ReC ≈ 1, alors que pour un écoulement dans un tuyau cylindrique, ReC ≈ 103 ! ! 3. Physique du jet turbulent 3.1 Description qualitative du jet Ici, nous vous proposons d’étudier un jet libre turbulent, à symétrie axiale. En pratique, ce jet est créé par un ventilateur de vitesse réglable, équipé à sa sortie d’une buse cylindrique. Le jet est dit « libre » car aucune paroi n’est censée le perturber. On parle aussi de jet « noyé » car le fluide que l’on injecte et le milieu dans lequel on l’injecte sont identiques (de l’air dans les deux cas). Fig 3.2 : Image instantanée d'un jet (simulation) 3.2 Notion de turbulence On enregistre un signal temporel en un point donné de l’écoulement (la vitesse ou la pression instantanée en un point, par exemple). Dans une zone laminaire, le signal est pratiquement constant dans le temps. Dans une zone turbulente, le signal fluctue de manière irrégulière. Si l’on fait la transformée de Fourier de ce signal, on a : • soit un spectre avec quelques fréquences caractéristiques, peu nombreuses, ce qui correspond à quelques tourbillons bien définis. Ceci correspond à la zone de transition vers la turbulence. • soit le spectre est assez riche et contient une multitude de fréquences caractéristiques : on parle alors de turbulence pleinement développée. Le mécanisme de passage d’un état à un autre rappelle fortement la transition vers le chaos. De fait, le mouvement turbulent d'un fluide constitue bien un exemple de chaos déterministe. En effet, du point de vue mathématique, la turbulence apparaît quand la solution de l'équation de Navier-Stokes devient instable par rapport à une petite perturbation, qui s'amplifie et diverge. Dans le cas d'un écoulement laminaire, la solution est au contraire stable par rapport à une petite perturbation (qui se résorbe d'elle-même). 3.3 Nécessité d'une description statistique de l'écoulement Pour une description plus quantitative de ce jet turbulent, on est obligé, à cause de la nature même de la turbulence, d’adopter une description statistique de l'écoulement. On s’intéressera donc à la moyenne temporelle (V) de la vitesse, et à sa partie fluctuante v en fonction du temps. Les moyennes temporelles doivent être prises sur un temps T suffisamment long par rapport à tous les temps caractéristiques du phénomène qui nous intéresse. Cela peut paraître évident, mais cette condition impose de fortes contraintes expérimentales. Nous aurons également besoin par la suite de la notion d’écart-type sur la vitesse, qui est par définition : σv = v2 On peut également définir le taux de turbulence d'un écoulement comme V v σ . 4. Montage expérimental 4.1 Le jet Un ventilateur à vitesse réglable est utilisé pour générer le jet. Ce ventilateur envoie un débit d’air constant à travers une buse à sortie cylindrique, de diamètre 2 mm, et de rapport longueur/diamètre supérieur à 10. Un jet d'air à symétrie axiale, immergé dans l'air environnant, est ainsi créé à la sortie de la buse. Figure 4.1 : Montage expérimental. Un ventilateur (derrière la paroi, invisible sur cette photo) envoie un débit d’air constant à travers la buse. 4.2 Mesure statique de la vitesse d'un fluide Une façon de mesurer la vitesse V d’un jet est de mesurer la pression d’arrêt. La figure suivante présente le principe de cette mesure : un tube Pitot est placé dans un écoulement, et crée un point d’arrêt (c’est-à-dire un point ou une ligne de vitesse s’arrête, le point B). En appliquant le théorème de Bernouilli, la pression au point A est directement reliée à la vitesse au point O. Il s’agit ici d’un tube Pitot simple, à mesure de pression d’arrêt. Il existe des tubes Pitot doubles, avec deux ouvertures. Buse Tube Pitot O A Figure 4.2 : Tube Pitot pour mesurer la pression d’arrêt. Le tube de Pitot est relié à un manomètre à tube incliné, qui permet de déterminer la pression PA en fonction de la pression atmosphérique PB, de la distance l, de l’angle α et des masses volumiques du liquide ρL et du gaz ρG. Le liquide choisi est, selon la gamme de pression mesurée, du mercure, de l'eau ou de l'alcool. On augmentera la sensibilité de l'appareillage en diminuant la différence ρL-ρG. Dans notre cas, on prendra de l'alcool (ρL = 800 g/l) et de l'air (ρG = 1 g/l). Il est important de noter que le temps de réponse d'un tel manomètre peut atteindre plusieurs secondes. On a au final G L l g V ρ α ρ sin 2 = . Figure 4.3 : Manomètre à tube incliné. Sous l'action de la surpression en A, le liquide monte de l dans le tube incliné de l’angle α par rapport à l’horizontale. Figure 4.4 : Manomètre à tube incliné utilisé 4.3 Mesure dynamique de la vitesse La réponse en fréquence du système précédent est assez limitée. On ne peut donc pas l'utiliser pour mesurer les vitesses instantanées résultant d'une turbulence. C’est un anémomètre à fil chaud que vous utiliserez pour faire vos mesures. Cet anémomètre est constitué d'un fil de platine d'un diamètre de l'ordre de 5 µm, et d’une longueur d’environ 1.5 mm, traversé par un courant électrique. En l'absence de toute autre contrainte, ce courant échauffe le fil jusqu'à une température d'équilibre qui va dépendre de l'écoulement et qui sera d'autant plus basse que la vitesse du fluide sera élevée. La quantité de chaleur fournie par le fil à uploads/Geographie/ poly-jt-1516.pdf