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Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 1/50 EXERCICES DE

Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 1/50 EXERCICES DE P PR RO OB BA AB BI IL LI IT TÉ ÉS S E ET T S ST TA AT TI IS ST TI IQ QU UE ES S Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 2/50 EXERCICE 1. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (01.09.04, miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : concept de probabilité Enoncé : On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Avec quelle probabilité cette carte est- elle soit une dame soit un cœur ? Solution : Un jeu de 52 cartes présente : - 13 cartes de pique - 13 cartes de carreau - 13 cartes de trèfle - 13 cartes de cœur Et dans chaque catégorie, nous retrouvons les cartes de 1 à 10 ainsi que le valet, la dame et le roi. Nous avons alors 13 "chances " de tirer une carte de cœur. Et nous avons 4 "chances " de tirer une dame. Mais il ne faut pas oublier que dans les cartes de cœur, il y a une dame, donc, il nous reste, après avoir considérer les cartes de cœur que 3 "chances " d'avoir une dame. Soit A , le fait que nous avons tiré une dame ou une carte de cœur. Sa probabilité est donc égale à : 13 3 16 4 ( ) 52 52 13 nombre de chances P A nombre de cartes total + = = = = Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 3/50 EXERCICE 2. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (01.09.04, miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : concept de probabilité Enoncé : Un barman propose au client le jeu suivant : on lance trois dés ; si le total des points obtenus est inférieur à 10 il donne au client une somme 4 = S €, s'il est supérieur à 10 le client lui donne une somme égale à la différence entre 10 et le résultat obtenu, s'il est égal à 10 aucune somme n'est échangée. Le jeu est-il équitable ? Sinon quel devrait être le montant de la somme S pour qu'il soit équitable ? Solution : Classons dans un tableau les différents résultats que nous pouvons obtenir en lançant trois dés, nous allons également poser que ces événements sont équiprobables : Total des points des trois dés lancés Somme reçue (+) ou donnée (-) par le client Probabilité 3 4 + 1216 4 4 + 3216 5 4 + 6216 6 4 + 10216 7 4 + 15216 8 4 + 21216 9 4 + 25216 10 0 27 216 11 1 − 27 216 12 2 − 25216 13 3 − 21216 14 4 − 15216 15 5 − 10216 16 6 − 6216 Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 4/50 17 7 − 3216 18 8 − 16 1 Le jeu est équitable si et seulement si la moyenne est nulle. Calculons cette moyenne : ( ) 1 4 1 3 6 10 15 21 25 27 2 25 3 21 4 15 5 10 6 6 7 3 8 1 216 Moyenne = ⋅ + + + + + + − − ⋅ −⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ − ⋅−⋅ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 9 216 Moyenne = − Le joueur a donc tendance à perdre. Pour que ce jeu soit équitable, calculons la valeur que doit prendre S . Pour cela remplaçons par x la somme donnée par le barman. 1 ((1 3 6 10 15 21 25) 1 27 2 25 3 21 4 15 5 10 6 6 7 3 8 1) 0 216 Moy x = + + + + + + −⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ − ⋅−⋅ = ⇔ 3.90 x = € Pour que le jeu soit équitable, le barman doit donner 3.90 € au client si le résultat est inférieur à 10. Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 5/50 EXERCICE 3. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (02.09.04, miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : concept de probabilité Enoncé : Quelle est la probabilité que dans une famille de trois enfants les deux plus jeunes soient des garçons ? Solution : Soit G , un garçon et F , une fille. Regardons les combinaisons possibles : GGG GGF GFF GFG FFF FGG FFG FGF Nous avons donc huit configurations possibles. (nous aurions pu savoir cela à l'aide de l'analyse combinatoire, on choisit trois éléments (les trois enfants de la famille) par mi un ensemble de deux (garçon et fille), il s'agit donc d'un arrangement multiple : 8 23 = ) Sur ces huit configurations, nous en avons 2 qui présentent les deux plus jeunes enfants comme garçon. La probabilité de cet événement est donc de : 2 1 (2 ) 8 4 P jeunes garçons = = Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 6/50 EXERCICE 4. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (02.09.04, miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : concept de probabilité Enoncé : Calculez les probabilités de gagner aux différents rangs en jouant au LOTTO belge. (le LOTTO belge consiste à cocher 6 numéros dans une grilles de 42 nombres). Solution : Rang 1 Æ 6 chiffres corrects Rang 2 Æ 5 chiffres corrects + nombre complémentaire Rang 3 Æ 5 chiffres corrects Rang 4 Æ 4 chiffres corrects Rang 5 Æ 3 chiffres corrects Pour le Rang 1, nous avons une chance de trouver la bonne combinaison, c'est-à-dire 6 chiffres parmi 42 : [ ] 6 42 1 1 1 ( 1) 0.0000002 42! (42 6)! 6! 5245786 P Rang C = = = ≅ − ⋅ (le nombre qui se trouve sous la barre de fraction est donc le nombre de grilles totales possibles.) Pour le Rang 2 , nous avons du cocher 5 chiffres sur les 6 »principaux » tirés, et un autre qui doit correspondre au numéro complémentaire tiré. 5 6 6 42 1 6 ( 2) 0.000001 5245786 C P Rang C ⋅ = = ≅ Pour le Rang 3, nous avons donc cochés 5chiffres parmi les 6 tirés, et nous avons également coché un chiffre qui ne correspond pas à ceux tirés (n'oublions pas que 7 numéros sont tirés, car nous avons la combinaison des 6 et le numéro complémentaire), ce chiffre peut être un des 35restant : 5 6 6 42 35 35 6 ( 3) 0.00004 5245786 C P Rang C ⋅ ⋅ = = ≅ Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 7/50 Pour le Rang 4 , nous avons cochés 4 numéros sur les 6 tirés, et nous avons cochés deux autres chiffres ne figurant pas dans la combinaison gagnante du jour, les possibilités respectives sont de l'ordre de 35 et 34 : 2 4 35 6 6 42 595 15 ( 4) 0.0017 5245786 C C P rang C ⋅ ⋅ ⋅ = = ≅ Pour le Rang 5 , nous avons donc cochés 3 nombres gagnants et trois autres étrangers au tirage du jour : 3 3 35 6 6 42 6545 20 ( 5) 0.025 5245786 C C P Rang C ⋅ ⋅ = = ≅ Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 8/50 EXERCICE 5. Niveau : Université Auteur : Dhyne Miguël (01.09.04, miguel.dhyne@win.be ) Mots-clés : concept de probabilité Enoncé : Le sexe d'un enfant est imprévisible. Dans le cas de la naissance d'un enfant, certaines personnes pensent qu'il y a autant de chance d'avoir une fille que d'avoir un garçon. Voici un tableau reprenant de 1982 à 1992 le nombre de naissance de chaque sexe : Année Nombre de naissance total Nombre de naissance « garçons » Nombre de naissance « filles » 1982 120241 61831 58410 1983 117145 60209 56936 1984 115651 59331 56320 1985 114092 58572 55520 1986 117114 60493 56621 1987 117354 60390 56964 1988 119779 61520 58259 1989 120904 61948 58656 1990 123776 63421 60335 1991 125924 64586 61338 1992 124774 63883 60891 Ces données confirment-elles cette opinion ? Estimez les probabilités de « naître filles » et de « naître garçon » pour chaque année, donnez-en un petit commentaire. Solution : Construisons ce même type de tableau, avec les probabilités correspondantes. Notons que la probabilité sera calculée de cette manière : ( ) nombre naissance garçon ou fille P garçon ou fille nombre total naissance = Economisons de l'énergie, ne calculons que la probabilité pour les garçons (par exemple), ensuite soustrayons ce résultat de 1 pour connaître la probabilité de « naître fille ». Année ) (garçon P ) ( filles P 1982 51 . 0 49 . 0 1983 51 . 0 49 . 0 1984 51 . 0 49 . 0 1985 51 . 0 49 . 0 1986 52 . 0 48 . 0 Sciences.ch Probabilités et Statistiques Serveur d'exercices 9/50 1987 51 . 0 49 . 0 1988 51 . 0 49 . 0 1989 51 . 0 49 . 0 1990 51 . 0 49 . 0 1991 51 . 0 49 . 0 1992 51 . 0 49 . 0 Nous remarquons uploads/Geographie/ prob-abilites-statistique-s.pdf