Devoir maison de Mathématiques no 5 Ryan LAHFA 12 décembre 2014 1 Exercice 1 1.

Devoir maison de Mathématiques no 5 Ryan LAHFA 12 décembre 2014 1 Exercice 1 1.1 Donner tous les élements de l’univers Ω On pioche donc deux lettres, dans l’ordre et sans remise (donc on peut avoir HU et UH mais pas HH ou UU), cela implique : Ω= {HU, HN, HD, UH, UN, UD, NH, NU, ND, DH, DU, DN} (1) Il y a donc 12 issues dans Ω. 1.2 Quelle est la probabilité de piocher deux consonnes ? Étant donné que les voyelles sont : A, E, I, O, U, Y, tous les autres sont donc des consonnes. Donc, on a : HN, HD, NH, ND, DH, DN, soit 6 issues sur 12 qui ont deux consonnes. Ainsi, soit A l’évenement « piocher deux consonnes » : p(A) = 6 12 = 1 2 (2) 1.3 Soit X, la variable aléatoire qui à chaque tirage as- socie le nombre de consonnes obtenues. Donner les valeurs de X et sa loi de probabilité. Sachant qu’on a une voyelle dans le mot, on a au moins une consonne dans les deux lettres, et au plus deux consonnes dans les deux lettres, ainsi, X prend les valeurs 1 et 2. 1 De plus, pour une consonne, on a une probabilité de 6 12 aussi car il y a 6 issues avec uniquement une consonne. Enfin, la loi de probabilité est la suivante : Table 1 – Loi de probabilité de X de l’exercice 1 Xi 1 2 P(X = Xi) 6 12 6 12 2 Exercice 2 2.1 Question 1 2.1.1 Montrer que X prend des valeurs comprises entre -2 et 3 On fait un tableau qui montre le gain algébrique en prenant en compte la mise de trois euros (donc on soustrait 3 à tous les gains) : Table 2 – Gain algébrique de l’exercice 2 Numéro du jeton 1 2 3 4 5 6 Gain associé −2 −1 0 1 2 3 2 Donc, on conclut grâce au tableau 2 que X prend bien ses valeurs entre -2 et 3. 2.1.2 Déterminer la loi de probabilité de X On a un total de 21 jetons. On liste tous les évenements possibles : — Soit A, l’évenement « Perdre 2 euros » — Soit B, l’évenement « Perdre 1 euro » — Soit C, l’évenement « Ne rien gagner, ne rien perdre » — Soit D, l’évenement « Gagner 1 euro » — Soit E, l’évenement « Gagner 2 euros » — Soit F, l’évenement « Gagner 3 euros » On calcule donc toutes les probabilités associé à chacun des évenements, soit : p(A) = 6 21 p(B) = 5 21 (3) p(C) = 4 21 p(D) = 3 21 (4) p(E) = 2 21 p(F) = 1 21 (5) On fait ainsi la loi de probabilité de X : Table 3 – La loi de probabilité de X de l’exercice 2 Xi −2 −1 0 1 2 3 P(X = Xi) 6 21 5 21 4 21 3 21 2 21 1 21 2.1.3 Calculer E(X) et interpréter ce résultat On fait le calcul de E(X) selon la formule suivante : E(X) = n X i=1 pixi 3 Soit : E(X) = −2 6 21 −1 5 21 + 0 4 21 + 1 3 21 + 2 2 21 + 3 1 21 (6) = −12 21 + −5 21 + 3 21 + 4 21 + 3 21 (7) = −12 −5 + 3 + 4 + 3 21 (8) = −7 21 (9) ≈−0, 3 (10) On a donc ici : E(X) ≈−0, 3, on peut dire que la moyenne espéré du gain est de -0,3 euros soit perdre 0,3 euros, en conclusion, le jeu a plus de chance de faire perdre que de faire gagner, il n’est pas équitable. 2.1.4 Calculer variance et écart-type de X Pour calculer la variance, on suit la formule : V (X) = n X i=1 pi (xi −E(X))2 Et celle de l’écart-type se définit comme : δ(x) = p V (X) On calcule donc grâce aux formules : V (X) = 6 21  −2 −−7 21 2 + 5 21  −1 −−7 21 2 + 4 21  0 −−7 21 2 + 3 21  1 −−7 21 2 + 2 21  2 −−7 21 2 + 1 21  3 −−7 21 2 (11) = 20 9 (12) ≈2, 22 (13) δ(x) = r 20 9 (14) = 2 √ 5 3 (15) ≈1, 49 (16) 4 2.2 Déterminer le gain à affecter au tirage du jeton nu- méroté 6 Étant donné, que pour que le jeu soit équilibré, il faut que E(X) = 0, et on doit modifier le gain associé au jeton numeroté 6, soit g le gain du jeton numéro 6, on a : E(X) = −2 6 21 −1 5 21 + 0 4 21 + 1 3 21 + 2 2 21 + g 1 21 (17) = −12 −5 + 3 + 4 + g 21 (18) = −10 + g 21 (19) = −10 21 + g 21 (20) (21) Ainsi, on résout E(X) = 0 avec g comme inconnu, on a : g 21 −10 21 = 0 (22) g 21 = 10 21 (23) g = 10 (24) Ainsi, le gain à affecter au jeton numéro 6 sera de 10 euros, donc on gagnera 13 euros avec le jeton numéro 6 (sans déducion de la mise). 5 uploads/Geographie/ devoir-maison-de-mathematiques.pdf

Tags
Administrationprobabilité l’évenement euros jeton perdre
Documents similaires
  • 23
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager