ESPÉRANCE CONDITIONNELLE MARTINGALES Préparation à l’Agrégation Bordeaux 1 Anné

ESPÉRANCE CONDITIONNELLE MARTINGALES Préparation à l’Agrégation Bordeaux 1 Année 2012 - 2013 Jean-Jacques Ruch et Marie-Line Chabanol Table des Matières Chapitre I. Espérance conditionnelle 5 1. Introduction 5 2. Définition de l’espérance conditionnelle 7 2.A. Cas particulier des variables aléatoires de carré intégrable 7 2.B. Cas général 7 3. Propriétés de l’espérance conditionnelle analogues à celles de l’espérance 8 4. Propriétés spécifiques à l’espérance conditionnelle 9 5. Calculs d’espérance conditionnelle 10 Chapitre II. Martingales 13 1. Introduction 13 2. Définition des martingales 14 3. Surmartingale et sous-martingale 15 4. Temps d’arrêt 16 5. Propriétés des martingales par rapport aux temps d’arrêts 17 6. Théorèmes d’arrêt 18 7. Inégalités maximales 19 8. Convergence des martingales 20 9. Convergence des martingales L2 23 10. Convergence dans L1 24 CHAPITRE I Espérance conditionnelle 1. Introduction Pour de nombreux problèmes concrets (prédiction, observation incomplète, etc.) il est important de pouvoir estimer une variable aléatoire sur laquelle on n’a qu’une information partielle. Dès lors, on comprend l’importance de la notion d’espérance conditionnelle. La définition axiomatique de cette notion est motivée par le cas discret traité dans le premier paragraphe. Le calcul explicite des espérances conditionnelles, qui est en général un problème difficile, est illustré sur plusieurs cas, dont le cas gaussien particulièrement important pour les applications. On note (Ω, A, P) un espace probabilisé. Soit B ∈A un événement tel que P(B) > 0. On peut définir une nouvelle probabilité sur (Ω, A), appelée probabilité conditionnelle sachant B, en posant pour tout A ∈A, P(A|B) = P(A ∩B) P(B) = E[1A1B] P(B) De même, pour toute variable aléatoire X positive ou dans L1(Ω, A, P), l’espérance conditionnelle de X sachant B est définie par E[X|B] = E[X1B] P(B) . Cette quantité est aussi l’espérance de X sous la probabilité P( |B), et elle s’interprète comme la valeur moyenne de X quand B est réalisé. Considérons une variable aléatoire Y à valeurs dans un espace E dénombrable et soit y ∈E tel que P(Y = y) > 0. Pour toute variable aléatoire X ∈L1(Ω, A, P) on peut définir, comme un cas particulier de ce qui précède, E[X|Y = y] = E[X1Y =y] P(Y = y) . Définition 1. Soit X ∈L1(Ω, A, P) et Y une variable aléatoire discrète sur Ω. L’espérance condition- nelle de X sachant Y est la variable aléatoire réelle définie par E[X|Y ] = ϕ(Y ), où la fonction ϕ : E →R est donnée par ϕ(y) =  E[X|Y = y] si y est tel que P(Y = y) > 0 0 sinon En particulier si X est également discrète, E[X|Y = y] = P k xkP(X = xk|Y = y). Le choix de la valeur de ϕ lorsque P(Y = y) = 0 n’a pas d’importance, puisque c’est un ensemble de probabilité nulle. En effet si on note E′ = {y ∈E | P(Y = y) = 0} alors P(Y ∈E′) = X y∈E′ P(Y = y) = 0. Donc, si on changeait la définition de ϕ sur E′ cela donnerait la même variable aléatoire E[X|Y ] à un ensemble de mesure nulle près. Dans le cas général, l’espérance conditionnelle sera toujours définie à un ensemble de probabilité nulle près. En comparant avec le conditionnement par rapport à un événement, on observe que l’espérance 6 Chapitre I. Espérance conditionnelle conditionnelle E[X|Y ] est maintenant une variable aléatoire : c’est la variable aléatoire qui donne la valeur moyenne de X quand on connait Y : on a presque sûrement E[X|Y ](ω) = E[X|Y = y], si Y (ω) = y. On a donc aussi le résultat suivant. Lorsque Y est une variable discrète à valeurs dans E E[X|Y ](ω) = X y∈E 1Y −1({y})(ω)E[X|Y = y]. Remarquons que E[X|Y ] est une fonction de Y donc une variable aléatoire σ(Y )-mesurable. Dans un sens qui sera précisé plus loin, c’est la meilleure approximation de X par une fonction de Y . Exemple : Lancer d’un dé. On prend Ω= {1, 2, . . . , 6} et P({ω}) = 1/6 pour tout ω. Soient Y (ω) =  1 si ω est impair 0 si ω est pair et X(ω) = ω. Alors, E[X|Y ](ω) =  3 si ω ∈{1, 3, 5} 4 si ω ∈{2, 4, 6} . Proposition 2. Soit X ∈L1(Ω, A, P). On a E[|E[X|Y ]|] ≤E[|X|]; en particulier E[X|Y ] ∈L1(Ω, A, P). De plus pour toute variable aléatoire Z bornée et σ(Y )-mesurable E[ZE[X|Y ]] = E[ZX]. en particulier E[E[X|Y ]] = E[X]. Démonstration. D’après la définition de l’espérance conditionnelle E[X|Y ], on a E[|E[X|Y ]|] = X y∈E\E′ P(Y = y)|E[X|Y = y]| = X y∈E\E′ P(Y = y) E[X1Y =y] P(Y = y) ≤ X y∈E E[|X|1Y =y] = E[|X|]. Pour la deuxième assertion, on utilise le fait qu’on peut écrire Z = ψ(Y ), avec ψ une fonction bornée. Alors, E[ψ(Y )E[X|Y ]] = X y∈E\E′ P(Y = y)ψ(y)E[X|Y = y] = X y∈E\E′ P(Y = y)ψ(y)E[X1Y =y] P(Y = y) = X y∈E\E′ ψ(y)E[X1Y =y] = X y∈E\E′ E[ψ(y)X1Y =y] = X y∈E\E′ E[ψ(Y )X1Y =y] = E  X y∈E\E′ ψ(Y )1Y =y X  = E[ψ(Y )X] □ Enfin, on peut vérifier que si Y ′ est une autre variable aléatoire discrète telle que σ(Y ) = σ(Y ′), on a E[X|Y ] = E[X|Y ′] p.s. Ceci suggère que la bonne notion de conditionnement est la notion de conditionnement par rapport à une tribu. C’est cette notion que nous allons développer dans la suite. 2. Définition de l’espérance conditionnelle 7 2. Définition de l’espérance conditionnelle 2.A. Cas particulier des variables aléatoires de carré intégrable. Si Y est discrète, on peut vérifier que la définition précédente entraine que si X est de carré intégrable, alors E[X|Y ] aussi ; de plus la proposition précédente entraine alors que (E[X|Y ] −X) est orthogonal (au sens L2) à toute variable aléatoire Z bornée σ(Y ) mesurable. Cela suggère une généralisation de la définition lorsque Y n’est pas forcément discrète en terme de projection orthogonale. Avant d’énoncer le résultat, rappelons que si B est une sous-tribu de A alors L2(Ω, B, P) s’identifie à un sous-espace fermé de L2(Ω, A, P), à savoir l’espace des éléments de L2(Ω, A, P) dont un représentant au moins est B-mesurable. Définition 3. Si X ∈L2(Ω, A, P) et si B est une sous tribu de A alors E[X|B] est la projection orthogonale de X sur L2(Ω, B, P). En particulier E[X|B] ∈L2(Ω, B, P). Si Y est une variable aléatoire, on note E[X|Y ] = E[X|σ(Y )]. On en déduit immédiatement la proposition suivante : Proposition 4. – Si X ∈L2(Ω, A, P) alors E[(X −E[X|B])2] = inf Z∈L2(Ω,B,P) E[(X −Z)2]. – On a pour toute variable aléatoire Z ∈L2(Ω, B, P) E[ZE[X|B]] = E[ZX] En particulier, pour toute fonction mesurable ψ telle que ψ(Y ) est de carré intégrable, E[ψ(Y )E[X|Y ]] = E[ψ(Y )X] – L’espérance conditionnelle E[X|B] est caractérisée par ∀B ∈B, E[1BE[X|B]] = E[1BX] Ces propriétés suggèrent la définition dans le cas L1. 2.B. Cas général. Théorème 5. Soit B une sous-tribu de A, et soit une variable aléatoire X ∈L1(Ω, A, P). Il existe alors une unique variable aléatoire dans L1(Ω, A, P), notée E[X|B], telle que ∀B ∈B, E[X1B] = E[E[X|B]1B]. De manière équivalente on a, pour toute variable aléatoire, Z, B-mesurable et bornée E[XZ] = E[E[X|B]Z]. En particulier, si Z = 1 on a E[E[X|B]] = E[X]. L’espérance conditionnelle par rapport une tribu est caractérisée par l’une des deux propriétés ci-dessus. L’équivalence entre les deux points est assez facile à voir. La premier point nous dit que l’on a le résultat pour toutes les indicatrices B-mesurables. Donc par somme et passage à la limite, il est encore vrai pour 8 Chapitre I. Espérance conditionnelle les fonctions étagées puis pour les fonctions bornées et B-mesurables. Pour la réciproque il suffit de poser Z = 1B. Démonstration. On a vu plus haut le cas où X ∈L2(Ω, A, P) : dans ce cas E[X|B] est la projection orthogonale de X sur L2(Ω, B, P). Passons maintenant au cas général, c’est-à-dire X ∈L1(Ω, A, P). En posant classiquement X = X+−X−, il est clair que l’on peut se ramener au cas où X ≥0. Soit pour n ∈N, Xn = X ∧n. D’après ce qui précède on peut prendre son espérance conditionnelle par rapport à B, Yn = E[Xn|B]. D’autre part, Xn tend simplement en croissant vers X. Pour les Yn remarquons que 0 ≤Yn ≤Yn+1 presque sûrement. Il suffit pour cela de vérifier que si U ≥0 alors son espérance conditionnelle vérifie V = E[U|B] ≥0. En effet, par l’absurde : si P(V < 0) > 0 alors il existe ε > 0 tel que P(V < −ε) > 0. Or comme {V < −ε} ∈B on a 0 ≤E[U1V <−ε] = E[V 1V <−ε] ≤−ε ce qui est impossible. Posons Y = lim sup Yn qui est B mesurable. Pour tout B ∈B on a : E[Y uploads/Geographie/ probaagreg1213-cours2-espcond-mart.pdf

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Administrationalors aléatoire variable temps conditionnelle
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