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Ensimag 1re ann´ ee 2005-2006 Travaux dirig´ es de Probabilit´ es Appliqu´ ees

Ensimag 1re ann´ ee 2005-2006 Travaux dirig´ es de Probabilit´ es Appliqu´ ees 1 Chapitre 1 et 2 Exercice 1 . On lance deux d´ es non pip´ es. Calculer la probabilit´ e des ´ ev´ enements suivants a) Obtenir au moins un six. b) Obtenir au moins un num´ ero pair. c) La somme des num´ eros obtenus est ´ egale ` a 6. d) La somme des num´ eros obtenus est paire. Exercice 2 . Soit X un nombre positif mesur´ e ` a l’issue d’une ´ epreuve al´ eatoire. On suppose que ∀0 ≤a ≤b < ∞, P(X ∈[a, b]) = Z b a e−xdx . a) Calculer P(X ≥t) pour tout t ≥0. b) Calculer P(sin X ≥0). c) Soit U un nombre pris au hasard dans [0, 1] tel que ∀0 ≤a ≤b ≤1 , P(U ∈[a, b]) = b −a . Calculer pour tout 0 ≤a ≤b, P( ln(1/U) ∈[a, b]). Exercice 3 . Les algorithmes suivants jouent aux d´ es. Certains trichent. Lesquels ? a) X ← −int(RANDOM ∗6) + 1 b) X ← −round(RANDOM ∗5) + 1 c) X ← −int(RANDOM ∗10); X ← −(Xmod6) + 1 d) X ← −int(RANDOM ∗12); X ← −(Xmod6) + 1 e) X ← −int(6 ∗sqr(RANDOM)) + 1 On consid` ere que RANDOM est un nombre pris au hasard dans [0, 1] comme dans l’exercice pr´ ec´ edent c). Exercice 4 . Ecrire un algorithme qui retourne 0 avec probabilit´ e 1 6, 1 avec probabilit´ e 1 3 et 2 avec probabilit´ e 1 2 ` a partir d’un (ou plusieurs) nombres pris au hasard dans [0, 1]. Exercice 5 . Ecrire un algorithme qui choisisse entre n ´ eventualit´ es e1, . . . , en, l’´ eventualit´ e ei avec la probabilit´ e pi (les probabilit´ es p1, . . . , pn sont donn´ ees et leur somme vaut 1). Exercice 6 . Il y a une chance sur trois pour que l’´ equipe d’Allemagne soit en ﬁnale du championnat du monde de football, une chance sur deux pour que l’´ equipe du Br´ esil 2 le soit et onze chance sur quinze qu’au moins une des deux soit en ﬁnale. Quelle est la probabilit´ e pour que la ﬁnale oppose le Br´ esil et l’Allemagne ? Exercice 7 . Soit A et B deux ´ ev´ enements tels que : P(A) = 1 3 ; P(B) = 1 4 ; P(A ∪B) = 4 9. Calculer P(A| B), P( ¯ A| B), P(A ∩¯ B| B). Exercice 8 . Le quart d’une population a ´ et´ e vaccin´ e contre une maladie. Au cours d’une ´ epid´ emie, on constate qu’il y a parmi les malades un vaccin´ e pour quatre non vaccin´ es. On sait de plus qu’il y avait un malade sur douze parmi les vaccin´ es. Quelle ´ etait la probabilit´ e de tomber malade pour un individu non vaccin´ e ? Conclusion. Exercice 9 . (Source T´ el´ ecom : A. Bienven¨ ue) Jojo fait du ski ` a la station Vall´ ees Blanches. Il est en haut du t´ el´ eski des Cailloux, et a le choix entre les pistes de Tout- plat (une bleue), Les Bosses (une rouge) et Les Rase-Mottes (une noire). Il choisit une piste au hasard de telle fa¸ con qu’il emprunte la bleue et la noire avec la probabilit´ e 1/4 et la rouge qu’il pr´ ef` ere avec la probabilit´ e 1/2. Il descend ensuite la piste choisie. Jojo n’est pas encore tr` es ` a l’aise cette saison. Il tombe avec une probabilit´ e de 1/10 sur une piste bleue, 1/6 sur une piste rouge et 2/5 sur une piste noire. a) Calculer la probabilit´ e de l’´ ev´ enement Jojo tombe sur la piste qu’il a choisie. b) Bernard, qui attend Jojo en bas des pistes, ` a la terrasse d’un caf´ e, voit arriver Jojo couvert de neige : il est donc tomb´ e. Sachant cela, qu’elle est la probabilit´ e que Jojo ait emprumpt´ e la piste noire. Exercice 10 . On simule le lancer de deux d´ es ´ equilibr´ es ` a n faces. On note S la somme des deux d´ es. a) Pour tout 1 ≤i ≤n + 1, montrer que P(S = i) = i −1 n2 . b) Pour tout n + 2 ≤i ≤2n, montrer que P(S = i) = 2n −i + 1 n2 . c) Calculer P(S ≤n + 1). Exercice 11 . On r´ ep` ete le lancer d’un d´ e (que l’on suppose ´ equilibr´ e) ` a 10 faces jusqu’` a ce que le d´ e produise un r´ esultat inf´ erieur ou ´ egal ` a 6. On note alors X le r´ esultat produit. D´ eterminer la probabilit´ e de l’´ ev´ enement (X = k), k = 1, . . . , 6. 3 Exercice 12 . On choisit un nombre N au hasard entre 1 et 4 puis un nombre X au hasard entre 1 et N. Quelle est la probabilit´ e de l’´ ev´ enement (X = k), k = 1, . . . , 4. Exercice 13 . On r´ ep` ete le lancer d’un d´ e (que l’on suppose ´ equilibr´ e) ` a 12 faces jusqu’` a ce que le d´ e produise un r´ esultat pair que l’on divise ﬁnalement par deux. Le r´ esultat ﬁnal est-il uniform´ ement r´ eparti dans {1, . . . , 6} ? Exercice 14 . Un jeu n´ ecessite le lancer d’un d´ e ` a 33 faces. Comment peut-on jouer ` a ce jeu avec un d´ e ` a six faces ? Mˆ eme question avec un d´ e ` a 19 faces. Exercice 15 . (Source AB) On lance un d´ e ` a cinq faces plein de fois. On note pn la probabilit´ e que la somme des r´ esultats obtenus lors des n premiers lancers soit paire. Calculer p1. Exprimer pn+1 en fonction de pn et en d´ eduire pn. Exercice 16 . Un questionnaire ` a choix multiples comprend huit questions. Pour chacune d’entre elles quatre r´ eponses sont propos´ ees dont une seule est la bonne. Un candidat d´ ecide de r´ epondre au hasard et ind´ ependamment ` a chacune des questions. Soit X le nombre de bonnes r´ eponses qu’il donne. a) D´ eterminer la loi de X. b) Pour ˆ etre re¸ cu, il faut donner au moins cinq bonnes r´ eponses. Quelle est la probabilit´ e pour que ce candidat soit re¸ cu ? c) Ecrire un algorithme de simulation de la variable X. d) Un autre candidat connait la r´ eponse ` a trois des questions pos´ ees et r´ epond au hasard aux autres. Quelle est la probabilit´ e qu’il soit re¸ cu ? Exercice 17 . Un rat se trouve dans un labyrinthe face ` a quatre portes dont une seule conduit ` a la sortie. Chaque fois qu’il choisit une mauvaise porte, le rat re¸ coit une d´ echarge ´ electrique et revient ` a son point de d´ epart. On note X le nombre d’es- sais n´ ecessaires au rat pour sortir du labyrinthe et on envisage successivement trois hypoth` eses sous lesquelles on d´ eterminera la loi de X. a) Le rat n’a pas de m´ emoire. Il choisit ` a chaque essai de fa¸ con ´ equiprobable l’une des quatre portes. b) Le rat a une m´ emoire imm´ ediate. A chaque nouvel essai, il ´ evite la mauvaise porte de l’essai pr´ ec´ edent et choisit au hasard parmi les trois autres. c) Le rat a une bonne m´ emoire. ` A chaque nouvel essai, il ´ evite toutes les mauvaises portes choisies pr´ ec´ edemment et choisit au hasard parmi les res- tantes. Ecrire un algorithme de simulation de la variable X dans chacune des trois hypoth` eses. Exercice 18 . (Source : A. Bienven¨ ue) Blanche-Neige passe la serpilli` ere quand la m´ echante reine se pr´ esente, grimm´ ee en pauvre vieille, pour lui oﬀrir un panier de cinq 4 pommes bien rouges, dont une empoisonn´ ee et deux v´ ereuses. Blanche-Neige prend les pommes une par une pour les croquer. Si elle tombe sur une pomme v´ ereuse, elle jette le reste du panier au cochon, sinon elle continue. Calculer la probabilit´ e pour que a) le cochon tr´ epasse, b) Blanche-Neige mange toutes les pommes. Exercice 19 . D´ erangements. Ecrire un algorithme de simulation d’une permu- tation de {1, . . . , n} au hasard (une permutation est une application bijective {1, . . . , n} dans lui-mˆ eme). a) Quelle est la probabilit´ e qu’une telle permutation ne modiﬁe pas le num´ ero 1 ? b) Quelle est la probabilit´ e qu’une telle permutation ne modiﬁe pas les k pre- miers num´ eros ? c) D´ emontrer, pour toute famille uploads/Geographie/ probatd.pdf