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Master Mathématique et Application au Calcul Scientifique (MACS) MEMOIRE DE FIN

Master Mathématique et Application au Calcul Scientifique (MACS) MEMOIRE DE FIN D’ETUDES Pour l’obtention du Diplôme de Master Sciences et Techniques (MST) Résolution numérique des équations de Navier Stokes par la méthode des volumes finis Réalisé par: ICHATOUHANE Aissam Encadré par: AKHMOUCH Mohammed Soutenu le 16/06/2017 Devant le jury composé de: -Pr. ELHILALI ALAOUI Ahmed Président -Pr. OUADGHIRI Aniss Examinateur -Pr. ELBARAKA Azzedine Examinateur -Pr. AKHMOUCH Mohammed Encadrant Année Universitaire 2016 / 2017 UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DEPARTEMENT DES MATHEMATIQUES FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES FES – SAISS  B.P. 2202 – Route d’Imouzzer – FES 1 Table des matières Introduction général................................................................................................................................ 4 Première partie ....................................................................................................................................... 6 Discrétisation du système du Navier Stokes instationnaires ................................................................ 6 Introduction-Modèle mathématique ...................................................................................................... 7 1. Discrétisation en temps ................................................................................................................... 8 2. Discrétisation en espace .................................................................................................................. 8 2 .1 La méthode des volumes finis ...................................................................................................... 9 2.2 Maillage ........................................................................................................................................ 9 2.2.1 Composantes du maillage .................................................................................................... 10 2 .2.2 Types du maillage ................................................................................................................ 10 3. Le schéma pour la convection ....................................................................................................... 11 3.1 Définition à l’intérieur du domaine : ........................................................................................... 12 3.1.1 Conditions aux limites .......................................................................................................... 12 3.2 Le schéma pour la diffusion ....................................................................................................... 12 3.2.1 Définition à l’intérieur du domaine ...................................................................................... 13 3.2.2 Conditions aux limites........................................................................................................ 14 3.2.3 Résultats théoriques ............................................................................................................. 14 4 Méthode d’interpolation locale sur les maillages triangulaires .................................................. 16 4.1 Le problème ................................................................................................................................. 16 4.2 La méthode .................................................................................................................................. 16 4.3 Interpolation au milieu des arêtes internes ................................................................................ 16 4.4 Interpolation au milieu des arêtes de bord ................................................................................ 16 4.4.1 Cas d’une arête de bord sans conditions aux limites ........................................................... 17 4.4.2 Interpolation en tout point du domaine de calcul ............................................................... 17 5. Schéma global de la résolution NAVIER-STOKES ............................................................................... 18 5.1 Définition des opérateurs ............................................................................................................ 18 5.1.1 L’opérateur de convection-diffusion : ....................................................................... 18 5.1.2 L’opérateur d’extension : E .................................................................................................. 19 5.1.3 L’opérateur de projection : P ............................................................................................... 20 5.2 Résolution du système complet .................................................................................................. 21 2 5.2.1 Terme source pour la convection diffusion de la vitesse ..................................................... 21 5.2.2 L’algorithme complet .................................................................... Erreur ! Signet non défini. Conclusion ............................................................................................................................................. 22 Deuxième partie .................................................................................................................................... 23 Simulation numérique des écoulements stationnaires incompressible ............................................... 23 Présentation du problème .................................................................................................................... 24 6. Étude d’un fluide stationnaire ........................................................................................................... 25 6.1 Le modèle mathématique : ......................................................................................................... 25 6.2 Maillage structuré : ..................................................................................................................... 25 6.4 Équations de Navier-Stokes en 2D : ........................................................................................... 26 6.4.1 Discrétisation des équations ................................................................................................ 27 6.4.2 Théorème ............................................................................................................................. 28 6.4.3 Estimation de Terme de diffusion ....................................................................................... 29 6.4.4 Terme de pression : .............................................................................................................. 31 6.5 La méthode itérative : ................................................................................................................. 32 6.6 Couplage pression-vitesse : ........................................................................................................ 36 6.6.1 Résultats numériques ........................................................................................................... 37 Conclusion générale .............................................................................................................................. 40 3 Remerciement Au terme de ce travail, j’exprime mes plus vif remerciements à mon encadrant Mr. Prof AKHMOUCH Mohammed, professeur à la Faculté des sciences et Techniques de Fès d’avoir accepté de diriger mon projet et qui m’a fourni un sujet présentant un intérêt à la fois théorique et numérique. Il s’est montre toujours disponible et m’a constamment aidé à y voir plus clair. Il a fait preuve d’une grande patience, gentillesse et d’un esprit responsable. J’apprécie ses conseils jugement indispensables à la progression de ce travail. Je remercie également les membres de jury devant lesquels j’ai l’honneur de présenter ce modeste travail, ainsi que nos enseignants de master (MACS) mathématiques et application au calcul scientifique. Mes remerciements vont aussi à Mr. Mohammed Benzakour Amine pour son aide et ses encouragements. Je remercie infiniment mes parents, mes frères et sœurs, les membres de ma famille pour leurs sacrifices et qui m’ont beaucoup soutenu moralement et matériellement durant la période de mes études. En fin que tous ceux qui m’ont guidé de près ou de loin pour mener à bien mon travail, trouve ici l’expression de ma profonde gratitude. 4 Introduction général Les problèmes physiques rencontrés dans notre quotidien (le transport de polluants, les problèmes de convection, les écoulements dans les conduites, la modélisation de l’écoulement des polymères fondus, la modélisation de la pollution atmosphérique, etc.) sont décrits par des équations aux dérivées partielles fortement couplées et non linéaires. En général, ces équations n’admettent pas de solution analytique sauf dans des cas très simplifiés. C’est pourquoi un recours aux méthodes de résolution numériques s’avère nécessaire. Il existe plusieurs méthodes numériques : - méthode des différences finies - méthode des volumes finis - méthode des éléments finis - méthode spectrales, ... Chaque méthode de résolution numérique d’un problème continue comporte une phase de maillage et une phase de discrétisation. La phase de maillage consiste à diviser le domaine d’étude de petits volumes appelés volumes de contrôle. La phase de discrétisation transforme le problème continu en un problème discret. Les équations ainsi que les conditions aux limites sont approchées par des équations et conditions discrètes. Notre objectif est développer les principes de la méthode des volumes finis. Le projet a donc naturellement été organisé en deux parties : La première partie sera consacré à l’exposer de la méthode des volumes finis sur un maillage non structuré pour un problème de Navier Stokes instationnaire incompressible. L’objet de la deuxième partie sera l’utilisation de la méthode des volumes finis sur un maillage structuré pour un problème de Navier Stokes stationnaire incompressible, puis on présente certains résultats numériques dans le cas de l’écoulement stationnaire sur un maillage structuré composé des carrés uniformes. 5 Rappels historiques La première résolution numérique connue des équations pour un fluide visqueux date de 1933 par une méthode de relaxation. Peu avant en 1910, Richardson réalisa une expérience de résolution numérique du Laplacien par la même méthode. La méthode de relaxation consiste à construire un processus itératif. Dans ce processus, les points de maillage sont pris à tour de rôle. Et pour chaque point, on calcule pour l’inconnue une correction proportionnelle au résidu de son équation. L’intérêt d’une telle méthode réside dans la simplicité des opérations unitaires. Cette simplicité diminué le risque d’erreur de calcules lorsque ceux-ci sont effectués manuellement. Le problème de Laplacien a reçu beaucoup d’attention dans l’histoire de l’analyse mathématique. Il constitue jusqu’ à présent un problème modèle pour le test d’algorithme de résolution de problème linéaire. À l’époque où les méthodes de relaxation sont apparues, les seuls calculateurs existant étaient des machines électromécaniques. La majeure partie du travail se faisait par des groupes de personnes payées au Laplacien résolu. En 1946, Southwell développe une méthode de relaxation de résidus plus efficace. Elle consiste à traiter à chaque tour, le point pour lequel le résidu est le plus important en valeur absolue. Les premiers calculs à grande échelle sont effectués par cet auteur en 1955 pour le calcul de l’écoulement autour d’un cylindre pour un nombre de Reynolds de 1000. Ces travaux purent s’effectuer grâce au financement accordé par une compagnie privée à l’Impérial Collège de Londres. Entre-temps la deuxième guerre mondiale eu lieu. Pendant ce conflit, le calcul numérique a connu deux avancées importantes, dues en partie au même homme : JOHN Von Neumann. Ce dernier fut à l’origine de l’architecture des ordinateurs dont beaucoup de constructeurs informatiques continuent de s’inspirer aujourd’hui. Il est surtout à l’origine des premiers travaux sur l’étude de la stabilité des schémas numériques au laboratoire de Los Alamos en 1944. Il développa notamment une méthode systématique d’analyse des systèmes linéaires. Cette méthode permet de déduire des critères de stabilité pour les schémas numériques. En 1966 Thoman et Szwczyk réussirent à calculer un écoulement avec un nombre de Reynolds de 1.000.000 en utilisant un schéma aux différences décentrées. Jusque-là, les différentes expériences de calcul avaient buté sur une limite supérieure pour le nombre de Reynolds. Limite au-delà de laquelle des instabilités apparaissent dans la solution. C’était la naissance du schéma upwind du premier ordre. Son adoption vient notamment du fait que les résultats obtenus sont physiquement réalistes. Les premières méthodes de résolution passaient par la détermination d’une équation de poisson pour la pression. Le but ici était d’éviter une résolution directe de l’équation de continuité. L’apparition de l’opérateur de Laplace permettait ensuite d’utiliser des méthodes générales. 6 Première partie Discrétisation du système du Navier Stokes instationnaires 7 Introduction-Modèle mathématique Même s’il existe déjà plusieurs schémas numériques stables, convergents et globalement conservatifs pour résoudre les équations de Stokes, la plupart des problèmes industriels sont régis par les équations de NAVIER- STOKES, plus générales. De plus, elles sont souvent couplées avec une équation Supplémentaire, afin de modélise la convection-diffusion d’une quantité scalaire comme la température, la concentration d’un polluant ou l’énergie cinétique turbulente. Parmi les méthodes dédiées à la résolution de ces problèmes, seules quelque unes satisfont les principes physiques suivants : - la conservation locale de la masse et des quantités scalaire conservatives. -la préservation numérique du principe du maximum pour les quantités Scalaires. Quelques schémas numériques utilisant la méthode des volumes finis sur maillage structurés peuvent répondre à ces spécifications. Cependant, peu sont disponibles sur les maillages non structurés (voir [11] ;[7] ;[6] ) pour les systèmes hyperboliques, [8];[9];[10] ;[3] ;[4] ;[10] pour les systèmes elliptique, et [6] ;[7] ;[11] pour les systèmes parabolique. Le schéma présenté uploads/Geographie/ resolution-numerique-des-equat-aissam-ichatouhane-4247.pdf