Universit´ e de Nice SV1, ann´ ee 2008-2009 D´ epartement de Math´ ematiques Ma

Universit´ e de Nice SV1, ann´ ee 2008-2009 D´ epartement de Math´ ematiques Math´ ematiques pour la Biologie (semestre2) Cours 4 : Loi de conservation du syst` eme de Lotka-Volterra Le syst` eme de Lotka-Volterra permet comme on l’a vu de mod` eliser la dynamique de deux populations pr´ esentant une relation de type proies-pr´ edateurs. Ce syst` eme poss` ede ce que l’on appelle une loi de conservation, c’est-` a-dire une quantit´ e qui d´ epend des deux tailles de population x et y, que l’on note H(x, y) et qui reste constante sur les trajectoires de la dynamique. En math´ ematique, on appelle aussi parfois une telle loi de conservation une int´ egrale premi` ere. L’´ etude de cette fonction H sera l’occasion d’aborder la question des fonctions de plusieurs variables (ici deux variables), leurs d´ eriv´ ees partielles, leurs graphes (qui sont des surfaces), leurs courbes de niveau. C’est l’objet de cette le¸ con. On verra que l’´ etude de la loi de conservation du syst` eme de Lotka-Voterra fournit ` a elle seule tous les renseignements que l’on peut souhaiter avoir sur le comportement du syst` eme. 1 Courbes de niveau : Les courbes de niveau sont en cartographie les courbes reliant les points de la carte ayant la mˆ eme altitude : un chemin qui suit les courbes de niveau est ` a plat (il ne monte ni ne descend), s’il est tranverse aux courbes de niveau, il monte ou il descend, passant d’un niveau ` a un autre niveau. A cot´ e des courbes d’´ egale altitude, il y a beaucoup d’autres exemples de courbes de niveau comme les courbes d’´ egale temp´ erature (isothermes) ou d’´ egale pression (isobares) en m´ et´ eorologie. Math´ ematiquement la courbe de niveau k d’une fonction f de deux variables (x, y) →f(x, y), est l’ensemble des points du plan (x, y) qui v´ erifient l’´ equation f(x, y) = k. Exemple : Par exemple la courbe de niveau k = 4 de la fonction f(x, y) = 3 −x −1 2y a pour ´ equation 3 −x −1 2y = 4, c’est donc la droite d’´ equation y = −2x −2. De mˆ eme la courbe de niveau k = 100 de la fonction g(x, y) = x2 + y2 a pour ´ equation x2 + y2 = 100, c’est donc un cercle de centre (0, 0) et de rayon r = 10. Les figures suivantes montrent leur repr´ esentation graphique. 3 2 1 -5 -3 0 -2 Y -1 -1 0 8 X 1 -2 11 2 22 -3 3 18 14 16 16 14 0 18 22 11 8 5 Z 10 15 20 25 2 1 0 -1 -2 -3 3 2 1 0 -1 -2 -3 3 22 18 18 16 16 14 14 11 11 8 8 22 2 D´ eriv´ ees partielles Comment peut-on tracer les courbes de niveau d’une fonction donn´ ee f(x, y) ? En g´ en´ eral on a recours ` a un logiciel1qui lui-mˆ eme utilise pour cela les d´ eriv´ ees partielles de la fonction. Qu’est-ce qu’une d´ eriv´ ee partielle ? Si f a deux variables, x et y, on d´ efinit non plus une d´ eriv´ ee de f mais deux d´ eriv´ ees que l’on appelle d´ eriv´ ees partielles : la d´ eriv´ ee partielle de f par rapport ` a x, not´ ee ∂f ∂x(x, y), est encore une fonction des deux variables x et y est on l’obtient en fixant la variable y, suppos´ ee constante, et en 1on peut recommander l’utilisation du logiciel Scilab qui est un logiciel libre que l’on peut t´ el´ echarger ` a http ://www.scilab.org/. Les quatre lignes suivantes permettent de tracer le graphe de la fonction f(x, y) = x2 −y2 + 13, et, dans le plan z = 0, six de ses courbes de niveau (figure de gauche) : deff(’z=f(x,y)’,’z=x^2-y^2+13’) x=-3 :0.2 :3 ;y=x ; fcontourplot2d(x,y,f,6) fplot3d(x,y,f,alpha=80,theta=-60) 1 d´ erivant comme d’habitude la fonction x 7→f(x, y) comme fonction de x seulement. On proc` ede de la mˆ eme fa¸ con pour calculer la d´ eriv´ ee partielle de f par rapport ` a y, not´ ee ∂f ∂y (x, y). Exemple : Ainsi f(x, y) = x2y2 + 3xy a pour d´ eriv´ ees partielles ∂f dx (x, y) = 2xy2 + 3y ∂f ∂y (x, y) = 2x2y + 3x et les d´ eriv´ ees partielles secondes (il y en a 4) se calculent de la mˆ eme mani` ere : ∂2f ∂2x(x, y) = 2y2 ∂2f ∂y∂x(x, y) = 4xy + 3 ∂2f ∂x∂y (x, y) = 4xy + 3 ∂2f ∂2y (x, y) = 2x2 Le vecteur dont les deux composantes sont les d´ eriv´ ees partielles de f s’appelle le gradient de f au point (x, y) et se note Grad f(x, y) = ∂f ∂x(x, y) , ∂f ∂y (x, y)  Lorsqu’on calcule ce vecteur en un point (x, y) en rempla¸ cant x et y par leurs valeurs on obtient un vecteur dont les deux composantes sont des nombres et qu’on peut alors tracer. Ainsi pour la fonction de l’exemple pr´ ec´ edent, au point (x, y) = (−1 3), on obtient Grad f(−1, 3) = (−9 15) Ce vecteur joue un role important dans l’´ etude de la fonction f ` a travers la propri´ et´ e suivante : Proposition 1 En chaque point (x, y), le vecteur gradient est perpendiculaire aux courbes de niveau de la fonction, dirig´ e dans le sens des niveaux croissants. Rappelons que deux vecteurs v =  x1 y1  et w =  x2 y2  sont perpendiculaires si leur produit scalaire v · w est nul, c’est-` a-dire si v · w = x1x2 + y1y2 = 0. De cette proposition, on d´ eduit qu’il est facile de calculer les coordonn´ ees d’un vecteur V (x, y) tangent ` a une courbe de niveau de f en un point (x, y) : il suffit de choisir un vecteur dont le produit scalaire avec le vecteur gradient est nul, comme par exemple V (x, y) =  −∂f ∂y (x, y) , ∂f ∂x(x, y)  , puisqu’on a V (x, y) · Grad f(x, y) = 0. 3 Loi de conservation D´ efinition : Soient ((x(t), y(t)) la dynamique de deux esp` eces comme par exemple les proies et les pr´ edateurs du syst` eme de Lotka Volterra, on dit que la fonction H(x, y) est une loi de conservation de cette dynamique lorsque la quantit´ e H(x(t), y(t)) reste constante au cours du temps. Par exemple si l’on consid` ere la dynamique de l’oscillateur harmonique (d´ eja ´ etudi´ ee dans la le¸ con 2) (x(t), y(t)) = (r cos t, r sin t), la fonction H(x, y) = x2 + y2 est une loi de conservation puisque H(x(t), y(t)) = r2. Dans le cas du syst` eme de Lotka-Volterra      dx(t) dt = α1x(t) −β1x(t)y(t) dy(t) dt = −α2y(t) + β2x(t)y(t) (1) il n’est pas difficile de v´ erifier que la fonction suivante est une loi de conservation : H(x, y) = α1 ln y −β1y + α2 ln x −β2x. Il suffit, pour cela, de calculer le produit scalaire du gradient de H par le champs de vecteur (x′(t), y′(t)) qui est donn´ e par le syst` eme diff´ erentiel. L’importance des lois de conservation pour l’´ etude des syst` emes diff´ erentiels comme ceux de Lotka- Volterra est facile ` a comprendre. D` es que la fonction H est connue, on peut, en utilisant ses d´ eriv´ ees partielles, tracer ses courbes de niveau et en d´ eduire les trajectoires de la dynamique. Alors qu’une ´ etude qualitative permet de pr´ evoir l’oscillation des deux populations (car les trajectoires tournent dans le plan (x, y)), elle ne permet pas de s’assurer que la dynamique est r´ eellement p´ eriodique, c’est-` a- dire que les trajectoire se referment effectivement apr` es un tour. Au contraire cette information d´ ecoule imm´ ediatement de l’´ etude de H. 2 uploads/Geographie/ s2cours4-pdf.pdf

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• Publié le Mar 23, 2021
• Catégorie Geography / Geogra...
• Langue French
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