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Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (

Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 1 RAPPELS MATHEMATIQUES Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique ci-contre (fig. 5.1-c.) est de rayon 1, c’est-àdire : R = OM = 1. En mathématique, le sens de rotation positif est dit trigonométrique et correspond au sens de rotation inverse horaire. Les angles sont exprimés en radians. Par définition, le cosinus de l’angle a est la projection sur l’axe des abscisses x de l’extrémité du vecteur , le sinus étant la projection sur l’axe des ordonnées y : Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 2 On définit ensuite : utilisation en topographie Ces relations servent à calculer les éléments d’un triangle rectangle, par exemple le triangle OMA ou le triangle OMB de la figure 5.1-c. dont on connaît au moins deux données : une longueur et un angle, ou bien deux longueurs. La connaissance de deux angles est insuffisante car il y a alors une infinité de solutions. On identifie les sinus, cosinus, tangente et cotangente de la manière suivante (fig. 5.2.) : Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 3 Relations trigonométriques de base Les relations suivantes sont utiles au déroulement de certains calculs littéraux : Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 4 Quelques relations dans un cercle Arc, flèche, corde : On peut faire l’analogie avec l’arc d’un archer (voir fig. 5.5). • On appelle arc la partie circulaire AB, notée , d’angle au centre α. • On appelle corde la longueur du segment [AB]. • On appelle flèche la longueur du segment [MN]. Les relations entre ces éléments sont les suivantes : Application : Calculez l’arc, la corde et la flèche interceptés par un angle au centre de 50 gon dans un cercle de rayon 15,00 m. Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 5 Angle entre corde et tangente : L’angle entre la corde AB et la tangente au cercle en A (ou en B) vaut α /2 (fig. 5.6.). Démonstration : le triangle AOB étant isocèle, on en déduit que La tangente en A au cercle étant perpendiculaire au rayon AO, il vient que l’angle entre la tangente et la corde est α / 2. Le même raisonnement s’applique en B. Angle vu depuis le cercle et angle au centre Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 6 L’angle est appelé angle du cercle interceptant l’arc AB (fig. 5.7.). L’angle est l’angle au centre qui intercepte le même arc. Il existe entre ces deux angles la relation suivante : Démonstration : le rayon ON est perpendiculaire à la tangente tt’. Autour de O, on a : α = 400 - (α1 + α2). Autour de N, on a : Cette démonstration est indépendante de la position du point N, situé sur l’arc complémentaire de AB. Donc tout point N de l’arc extérieur à l’arc AB intercepté par l’angle au centre α vérifie la relation précédente (voir fig. 5.8.). Les angles issus de points situés sur un cercle et interceptant un même arc de ce cercle sont égaux entre eux et égaux à la moitié de l’angle au centre. Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 7 Arc capable Soient deux points fixés A et B. L’ensemble des points N tels que l’angle soit égal à une valeur donnée α est représenté par l’arc AB (en trait continu sur la figure 5.9-b.). Cet arc est appelé arc capable associé à l’angle α. Quelques relations dans les triangles Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 8 La notation ci-dessus (fig. 5.12.) est toujours respectée : le côté de longueur a est opposé à l’angle , b opposé à l’angle et c à l’angle . Somme des angles Internes Relation des sinus Soit le triangle ABC ci-dessus (fig. 5.12.) inscrit dans le cercle de centre O et de rayon R. Si l’on fait intervenir le triangle ABM tel que la droite AM passe par le centre O du cercle, on retrouve en M l’angle puisque les angles et interceptent la même corde AB. De plus, l’angle est égal à 100 gon. Donc dans le triangle rectangle ABM, on a . Cette relation peut se démontrer pour chaque côté du triangle et comme la quantité 2R est une constante, on en déduit la relation des sinus exprimée ci- dessous: Le cercle de rayon R est appelé cercle circonscrit au triangle ABC. Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 9 Relation des cosinus Dans le même triangle ABC (fig. 5.13.), si l’on trace la perpendiculaire à AB passant par C (hauteur), on peut écrire : De même, sur les autres côtés, on obtient : Théorème de Pythagore généralisé Dans le triangle ABC (fig. 5.14.), on peut écrire la relation vectorielle suivante : Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 10 Si l’on en fait le produit scalaire membre à membre, on obtient : En distribuant, il vient : En écrivant le produit scalaire, il vient : On obtient finalement : Surface d’un triangle à partir de la hauteur du triangle Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 11 La surface totale S du triangle ABC (fig. 5.17.) est la somme des surfaces des triangles AHC et AHB. Soit : , La formule peut être écrite de même avec hb et hc, les hauteurs perpendiculaires aux côtés b et c. Surface d.un triangle à partir du produit vectoriel C’est la formule la plus employée (fig. 5.18.). La surface du parallélogramme A-B-A’-C s’exprime comme la norme du produit vectoriel des vecteurs La surface totale du parallélogramme est : La surface S du triangle ABC est la moitié de la surface totale : Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 12 Surface d’un triangle à partir du demi-périmètre P Si l’on connaît les trois côtés d’un triangle, sa surface s’exprime par : Démonstration : le raisonnement est mené à partir de la figure 5.17. En factorisant, on obtient : Surface d’un triangle à partir d’un côté et des deux angles adjacents La surface S est décomposée en deux surfaces par la hauteur CH (fig. 5.20.). Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 13 On peut alors écrire : Résolution de triangles Pour alléger les notations, on note A, B et C les angles opposés aux côtés a, b et c. Un angle C et ses deux côtés adjacents a et b sont connus Calcul de c : c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC Calcul de A : a2 = c2 + b2 – 2.c.b.cosA ou bien : b = a.cosC + c.cosA Calcul de B : b2 = a2 + c2 – 2.c.a.cosB ou bien : a = b.cosC + c.cosB On vérifie que A + B + C = 200 gon. Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 14 Exemple On donne : C = 28,654 gon ; a = 151,46 m ; b = 212,28 m. Calculer les éléments manquants. Les trois côtés a, b et c sont connus Calcul de C : c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC Calcul de A : a2 = c2 + b2 – 2.c.b.cosA ou bien : b = a.cosC + c.cosA Calcul de B : b2 = a2 + c2 – 2.c.a.cosB ou bien : a = b.cosC + c.cosB On vérifie que A + B + C = 200 gon. Exemple On donne : a = 151,46 m ; b = 212,28 m ; c = 98,45 m.. Calculer les éléments manquants. Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 15 Un côté b et les deux angles adjacents C et A sont connus Calcul de B : A+B+C = 200 gon Calcul de a et c : On vérifie que c = a. cosB + b. cosA. Exemple On donne : b = 151,46 m ; A = 44,926 gon ; C = 34,343 gon. Calculer les éléments manquants. Extension de certaines formules aux polygones Surface d’un QUADRILATÈRE Cours de Géodésie-Topographie Par Jean Paul FOKOU, Géomètre-Topographe, Tél : (237)77583219 Cycle Licence professionnelle de Cartographie-Topographie-SIG 16 La surface du quadrilatère ABCD ci-contre (fig. 5.29.), inscriptible dans un cercle de rayon R et circonscriptible à un cercle de rayon r, s’exprime par : Somme des angles internes d’un polygone La somme des angles internes d’un polygone de n côtés (fig. uploads/Geographie/ saucisson-rappels-mathematiques.pdf