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Devoir 1 Exercice 1 : Soit la fonction ( ) ( ) ; avec x en radians a) Localiser

Devoir 1 Exercice 1 : Soit la fonction ( ) ( ) ; avec x en radians a) Localiser les racines de l’équation en utilisant deux méthodes différentes. b) Approchez par la méthode de Dichotomie la racine xr avec une précision de 0.001 c) Approchez par la méthode de Newton la racine xr avec une précision de 0.001 Solution : a) La localisation des racines se fait soit par la méthode de balayage ou la méthode graphique. x f(x) -10 -9.79023 9 -8.77222 -8 -7.96362 -7 -7.18848 -6 -6.24004 -5 -5.07092 -4 -3.83659 -3 -2.7525 -2 -1.89596 -1 -1.13508 0 -0.25 1 0.864924 2 2.104037 3 3.247498 4 4.163411 5 4.929084 6 5.759957 7 6.811524 8 8.036375 9 9.227783 10 10.20977 -15 -10 -5 0 5 10 15 -15 -10 -5 0 5 10 15 f(x) f(x) Méthode de Dichotomie : Dichotomie a b c f(a) f(b) f(c.) ξ 0 0.4 0.2 -0.25 0.169735 - 0.04502 0.2000 0.4000 0.3000 -0.0450 0.1697 0.0612 0.3333 0.2000 0.3000 0.2500 -0.0450 0.0612 0.0078 0.2000 0.2000 0.2500 0.2250 -0.0450 0.0078 -0.0187 0.1111 0.2250 0.2500 0.2375 -0.0187 0.0078 -0.0055 0.0526 0.2375 0.2500 0.2438 -0.0055 0.0078 0.0011 0.0256 0.2375 0.2438 0.2406 -0.0055 0.0011 -0.0022 0.0130 0.2406 0.2438 0.2422 -0.0022 0.0011 -0.0005 0.0065 0.2422 0.2438 0.2430 -0.0005 0.0011 0.0003 0.0032 0.2422 0.2430 0.2426 -0.0005 0.0003 -0.0001 0.0016 0.2426 0.2430 0.2428 -0.0001 0.0003 0.0001 0.0008 Methode de Newton x(n) f(x) f'(x) x(n+1) ξ 0 -0.25 1 0.25 0.25 0.008 1.062 0.243 0.029 0.2427 0.0000 1.0601 0.2427 0.0000 Exercice 2 : Utiliser les valeurs de : x x0=0 x1= π/6 x2= π/4 x3= π/3 x4= π/3 f(x)=sin(x) 1. Evaluer sin(3π/8) en utilisant l’interpolation de Lagrange. 2. Déterminer l’erreur relative. Solution Méthode Lagrange x0 x1 x2 x3 x4 0 0.5236 0.7854 1.0472 1.5708 f(x) 0 0.5 0.7071 0.866 1 ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin(3π/8) =0.9239….Donc ξ=0%. Exercice 3 La concentration en oxygène dissous pour de l’eau douce en fonction de la température est donnée par le Tableau suivant. x0 x1 x2 x3 T( °C) 0 16 24 32 O, mg/l 14.624 9.870 8.418 7.305 T : température en °C. O : Concentration en oxygène en mg/l 1. Estimer la concentration en oxygène pour une température de 27°C en utilisant un polynôme d’interpolation de Newton de degré 3. 2. Si la valeur exacte est 7.986 mg/l, calculer l’erreur relative de votre approximation. ( ) ( ) ( )( )+ ( )( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] On obtient finalement : ( ) ( ) ( )( )-0.0007( )( )( ) ( ) L’erreur relative est donc : ( ) Exercice 4 La concentration d’une bactérie dans un lac décroit selon la loi suivante : En utilisant une méthode numérique, déterminer le temps requis pour que la concentration soit réduite à 15 avec une précision de 0,5%. Solution Si la concentration est réduite à 15 donc : Il faut donc résoudre l’équation suivante en utilisant la méthode de Dichotomie ou de Newton. Pour cela on commence par determiner l interval [a0, a1] ou il existe une solution. t f(t) -10 2.45E+08 10 -5.55265 0 80 1 20.28963 2 5.94819 3 1.803499 4 0.002271 5 -1.21273 6 -2.23818 7 -3.16683 8 -4.02331 9 -4.81677 Méthode de Dichotomie avec a0=4 et b0=5 a b c f(a) f(b) f(c.) ermax ξ 4 5 4.5 0.002271 - 1.21273 - 0.64114 0.5 4 4.5 4.25 0.002271 - 0.64114 - 0.33108 0.25 5.882353 4 4.25 4.125 0.002271 - 0.33108 - 0.16777 0.125 3.030303 4 4.125 4.0625 0.002271 - 0.16777 - 0.08366 0.0625 1.538462 4 4.0625 4.03125 0.002271 - 0.08366 - 0.04093 0.03125 0.775194 4 4.03125 4.015625 0.002271 - 0.04093 - 0.01939 0.015625 0.389105 4 4.015625 4.007813 0.002271 - 0.01939 - 0.00857 0.007813 0.194932 4 4.007813 4.003906 0.002271 - 0.00857 - 0.00316 0.003906 0.097561 Le temps requis est de 4 secondes. Exercice 5 La figure ci-dessus montre une poutre avec charge triangulaire. L’équation de la ligne élastique (déformée) est donnée par : En utilisant la méthode de Newton, déterminer la position du déplacement maximal (flèche). On donne : L=600 cm ; E=50 000 kN/cm2, I=30 000 cm4 et w0=2.5kN/cm. Le déplacement est maximal si la dérivée de y (ligne élastique) est nulle. ( ) y’=0 si ( ) Il faut donc résoudre l’équation suivante en utilisant la méthode de Dichotomie ; méthode de Newton ou méthode du point fixe. ( ) Les tableaux suivants montrent qu’il existe une solution entre 300 et 400cm ; En utilisant la méthode de Newton on trouve que le déplacement est maximal pour L=268.33 cm. x f(x) xn f(xn) f'(xn) xn+1 0 - 1.296E+11 200 -5.1E+10 704000000 272.7273 10 - 1.294E+11 272.727 3.4E+09 772471826 268.327 20 - 1.287E+11 268.327 -919730 772785093 268.328 30 - 1.277E+11 268.328 0 772785093 268.328 40 - 1.262E+11 100 - 1.085E+11 200 -5.12E+10 300 2.43E+10 400 8.8E+10 500 9.79E+10 600 0 uploads/Geographie/ solution-devoir-1-2020.pdf