Section technicien supérieur Cours de mathématiques Chapitre 11 Transformées en

Section technicien supérieur Cours de mathématiques Chapitre 11 Transformées en Z La transformée en Z est un outil mathématique de traitement du signal, qui est l’équivalent discret de la transformée de Laplace. Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète. Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2011–2012 Cours de mathématiques STS 1. Signaux discrets 1.1. Introduction Supposons qu’un signal soit caractérisé par une fonction f continue sur l’intervalle ] −∞; +∞[. On peut échantillonner le signal au pas ∆t. On va ainsi mesurer f(0), f(∆t), f(2∆t), · · · On peut alors considérer la suite (f(n∆t)), pour n ∈Z. Si ∆t est suffisamment petit, la connaissance de cette suite donne une idée assez précise du signal continu t 7→f(t). On dit alors qu’on a discrétisé le signal continu au pas ∆t. signal original −∆t 0 ∆t 2∆t 3∆t 4∆t 5∆t signal discrétisé −∆t 0 ∆t 2∆t 3∆t 4∆t 5∆t b b b b b b b Dans la pratique, une unité de temps étant choisi, on peut supposer ∆t = 1 (s, ms, µs, . . .). Exemple : On considère le signal continu caractérisé par la fonction f(t) = 2t. On l’échan- tillonne au pas d’unité 1 ms. La suite des échantillons est {· · · ; −2; 0; 2; 4; 6 · · ·}. Si αn est le terme général de cette suite, on a αn = 2n. Comme on écrit f(t) pour une fonction, on écrira α(n) pour les termes d’une suite (au lieu de αn.) 1.2. Exemples de signaux discret Définition 1 : Suite de Dirac ou suite canonique La suite canonique, ou suite de Dirac ou impulsion unité discrète, notée d, est définie par : ( d(n) = 0 si n ∈Z⋆; d(0) = 1. Illustration : Suite de Dirac ou suite canonique 1 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 b b b b b b b b b b b b b 1 Chapitre 11 Transformées en Z Théorème 1 : Echelon unité discret L’échelon unité discret, noté e, est défini par : ( e(n) = 1 si n ∈N ; e(n) = 0 si n ∈Z⋆−. Son équivalent pour les fonctions est U (t). Illustration : Echelon unité discret 1 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 b b b b b b b b b b b b b Théorème 2 : Rampe unité causale La rampe unité causale, notée r, est définie par : ( r(n) = n si n ∈N ; r(n) = 0 si n ∈Z⋆−. Son équivalent pour les fonctions est tU (t). Illustration : Rampe unité causale 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 b b b b b b b b b b b b Théorème 3 : Signal géométrique causal Le signal géométrique causal, noté f, est défini, pour a ∈R⋆, par : ( f(n) = an si n ∈N ; f(n) = 0 si n ∈Z⋆−. http://lyceeenligne.free.fr 2 Cours de mathématiques STS Illustration : représentation graphique avec a = 0, 5. 1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 b b b b b b b b b b b b b 1.3. Opération sur les signaux discrets Tout comme pour les fonctions, on peut additionner, multiplier par un nombre ou entre eux les signaux discrets. Exemple : Le signal d(n) + r(n) est représenté par 1 2 3 4 5 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 b b b b b b b b b b b b Définition 2 : Signal retardé de k Soit s(n) un signal causal. Le signal retardé de k est s(n −k) × e(n −k). L’équivalent pour les fonctions est f(t −τ)U (t −τ). Exemples : 3 Chapitre 11 Transformées en Z 1. L’impulsion unité discrète retardée de k, notée dk est définie par : ( dk(n) = 0 pour n ̸= k ; dk(n) = 1 pour n = k. Illustration : représentation graphique de d3. 1 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 b b b b b b b b b b b b b 2. L’echelon unité retardé de k est définie par : ( ek(n) = 0 pour n < k ; ek(n) = 1 pour n ⩾k. Illustration : représentation graphique de l’echelon unité retardé de 3. 1 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −6 b b b b b b b b b b b b b 2. Transformée en z 2.1. Définition La transformée de Laplace transforme un signal continu (donné par une fonction) en une autre fonction. L’intêret mathématique est de pouvoir ainsi résoudre des équations différentielle. On cherche à trouver pour les signaux discrets l’équivalent de la transformation de Laplace pour les signaux continus. signal continu : F(p) = Z +∞ 0 e−ptf(t)dt signal discret : +∞ X k=0 e−pkf(k) = +∞ X k=0 s(k)z−k car s(k) = f(k) et en posant z = ep http://lyceeenligne.free.fr 4 Cours de mathématiques STS Définition 3 : Transformée en z La transformée en z d’une suite (sn)n∈N est la fonction de la variable réelle ou complexe z, définie par : (Zs)(z) = +∞ X n=0 s(n)z−n (= +∞ X n=0 sn 1 zn). La transformée en z transforme un signal discret (donné par une suite) en une fonction. L’intêret mathématique sera de pourvoir ainsi résoudre des équations aux différences, plus connues sous le nom de suites récurentes. Remarques : • La série associée à la transformée en z d’un signal causal n’est pas forcement convergente pour toute valeur de z. Conformément au programme de BTS, nous ne nous attarderons sur ce problème et nous admettrons la convergence pour les valeurs étudiées. • Soit un signal analogique causal t 7→s(t). Si on échantillonne au pas ∆t = Te, sa transformée en z est : (Zs)(z) = +∞ X n=0 s(nTe)z−n 2.2. Transformées en z usuelles 5 Chapitre 11 Transformées en Z Théorème 4 : Transformées en z des suites usuelles 1. La transformée en z de la suite canonique, ou suite de Dirac, ou impulsion unité discrète est : (Zd)(z) = 1. 2. La transformée en z de l’impulsion unité discrète retardée de k est : (Zdk)(z) = z−k. 3. La transformée en z de l’échelon unité discret est : (Ze)(z) = z z −1 si |z| > 1. 4. La transformée en z de la rampe unité causale est : (Zr)(z) = z (z −1)2 si |z| > 1. 5. La transformée en z du signal causal discret x(n) = n2 est : (Zx)(z) = z(z + 1) (z −1)3 si |z| > 1. 6. La transformée en z du signal géométrique causal est : (Zf)(z) = z z −a si |z| > |a|. Démonstration : 1. Par définition, (Zd)(z) = +∞ X n=0 d(n)z−n = d(0)z0 = 1. 2. Par définition, (Zdk)(z) = +∞ X n=0 dk(n)z−n = d(k)z−k = z−k. 3. Par définition, on a (Ze)(z) = +∞ X n=0 1 × z−n = +∞ X n=0 1 z n . Il s’agit donc d’une série dont le terme général est une suite géométrique de raison 1 z . Cette série converge si |1 z | < 1, donc si |z| > 1 et on a : (Ze)(z) = 1 1 −1 z = z z −1. 4. Par définition, on a (Zr)(z) = +∞ X n=0 nz−n. Par ailleurs, on sait que pour |z| > 1, on a +∞ X n=0 z−n = z z −1. En dérivant membre à membre cette égalité, on obtient +∞ X n=0 −nz−n−1 = −1 (z −1)2 . En multipliant les deux membres par −z, il vient +∞ X n=0 nz−n = z (z −1)2 . http://lyceeenligne.free.fr 6 Cours de mathématiques STS 5. admis. 6. Par définition, on a (Zf)(z) = +∞ X n=0 anz−n = +∞ X n=0 a z n . Il s’agit donc d’une série dont le terme général est une suite géométrique de raison a z . Cette série converge si |a z| < 1, donc si |z| > |a| et on a : (Zf)(z) = 1 1 −a z = z z −a. □ 2.3. Propriétés de la transformation en z Théorème 5 : Linéarité Soit x et y deux signaux discrets causaux et k un nombre réel. On a : (Z(x + y))(z) = (Zx)(z) + (Zy)(z) (Z(λx))(z) = λ(Zx)(z) avec λ ∈R. Exemple : La transformée en z de d(n)+2r(n) est (Z(d+2r))(z) = (Zd)(z)+2(Zr)(z) = 1 + 2z (z −1)2. Théorème 6 : Retard Soit x un signal discret causal. Le signal retardé de n0 (n0 ∈N⋆) est le signal y défini par y(n) = x(n −n0)e(n −n0). On a : (Zy)(z) = z−n0(Zx)(z). Comparer avec Laplace : e−τpF(p). Démonstration : (Zy)(z) = +∞ X n=0 uploads/Geographie/ sts-transformee-en-z.pdf

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