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; BACCALAURÉAT GÉNÉRAL < ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Institution Saint

; BACCALAURÉAT GÉNÉRAL < ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Institution Sainte Jeanne D’Arc de Dakar Session Janvier 2022 Sujet blanc Durée de l’épreuve : 4 heures Le candidat est invité à faire ﬁgurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées. Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 5. Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B. L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé. L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé. Baccalauréat Général épreuve d’enseignement de spécialité ISJA EXERCICE 1 3,75 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une ré- ponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’en- lève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justiﬁcation n’est demandée. 1. Soit f une fonction déﬁnie et dérivale sur R et telle que f (x) > −5, ∀x ∈R. On pose h(x) = p f (x)+5. La dérivée h’ de h est : a. f ′(x) p f (x)+5 b. p f ′(x)+5 c. f ′(x) 2p f (x)+5 d. f (x) 2p f (x)+5 2. Soit f la fonction déﬁnie sur R par f (x) = 2x2−3 x2+1 . C f admet comme asymptote la droite d’équation : a. y = −3 b. x = 2 c. y = 2 d. y = 0 3. Soit f une fonction déﬁnie et dérivable sur R. Lorsque h tends vers 0, la limite de f (5+h)−f (5) h est : a. f (5) b. f ′(0) c. f (0) d. f ′(5) 4. Soit g la fonction déﬁnie sur ]0;+∞[ par g(x) = ex +px −3. Sur ]0;+∞[, l’équation g(x) = 0 : a. n’admet aucune solution b. admet une seule solution c. admet plusieurs solution d. est décroissante. 5. Soit h la fonction déﬁnie sur I =]0;+∞[ par h(x) = ex −px : a. est convexe sur I b. est concave sur I c. n’est ni convexe ni concave sur I d. n’est pas dérivable sur I Mathématiques 2 session Janvier 2022 Baccalauréat Général épreuve d’enseignement de spécialité ISJA EXERCICE 2 6,25 points On étudie, semaine par semaines, le modèle de propagation d’un virus. Au bout de n semaine, chaque individu peut-être : Sn : Susceptible d’être malade; Mn : Malade; In : Immunisé . Une personne vaccinée ou guérie est immunisée. L’immunité est déﬁnitive. Parmi les individus susceptibles d’être atteints : — 85% restent susceptibles d’être atteints la semaine suivante. — 5% tombent malades la semaine suivante; — 10% deviennent immunisés. Parmi les individus malades : — 65% restent malades la semaine suivante; — 35% deviennent immunisés. Partie A : Initialement, on considère que tout individu est susceptible d’être atteint par le virus, ainsi : p(S0) = 1 1. Recopier et compléter l’arbre suivant. 2. Montrer que la probabilité qu’un individu soit immunisé au bout de 2 semaines est p(I2) = 0,2025. 3. Sachant qu’un individu est immunisé au bout de deux semaines, quelle est la probabilité qu’il fut malade au bout d’une semaine? (Arrondir à 10−2 près). Partie B Dans cette partie on étudie les suites : un = p(Sn); vn = p(Mn) et wn = p(In). On admet que ∀n ∈N : un + vn + wn = 1 Et que : vn+1 = 0,65vn +0,05un 1. Montrer que ∀n ∈N, un+1 = 0,85un. 2. En déduire la nature de la suite (un) ainsi que l’expression de un en fonction de n. 3. Montrer, par récurrence, que ∀n ∈N : vn = 1 4(0,85n −0,65n) 4. Déterminer les limites des suites (un) et (vn). Mathématiques 3 session Janvier 2022 Baccalauréat Général épreuve d’enseignement de spécialité ISJA 5. En déduire la limite de la suite (wn) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. Partie C A l’issue de cette crise sanitaire, 75% de la population décident de se mettre à jour dans ses vac- cins. On choisit au hasard 20 individus de cette population. On considère la population sufﬁsam- ment grande pour assimiler ce choix à un tirage successif avec remise. Soit X la variable aléatoire associée au nombre d’individus vaccinés. 1. Justiﬁer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Dans cette question, les résultats sont arrondis au millième. a. Calculer la probabilité qu’exactement 12 individus soient vaccinés. b. Calculer la probabilité que moins de 11 individus soient vaccinés. c. Calculer la probabilité que plus de 14 individus soient vaccinés. EXERCICE 3 : 5 points ABCDEFGH est un cube de coté 1. Le point I est le milieu de [BF]. Le point J est le milieu de [BC]. Le point K est le milieu de [CD]. L est le point d’intersection de (I J) et (CG) L’espace est rapporté au repère ³ A ; − → AB, − → AD, − → AE ´ . 1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère. 2. a. Montrer que le vecteur − → AG est normal au plan (IJK). b. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK). 3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0; 1] tel que − − → AM = t− − → AG. a. Démontrer que MI2 = 3t2 −3t + 5 4. b. Démontrer que la distance MI est minimale pour le point M µ1 2 ; 1 2 ; 1 2 ¶ . 4. Démontrer que pour ce point M µ1 2 ; 1 2 ; 1 2 ¶ : a. M appartient au plan (IJK). b. La droite (IM) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF). EXERCICE A 5 points 1. On considère la fonction f déﬁnie et dérivable sur [0;+∞[ par : f (x) = xe−x a. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de déﬁnition. b. Montrer que f ′(x) = (1−x)e−x. c. Etudier le signe de f ′(x) et dresser le tableau de variation. Mathématiques 4 session Janvier 2022 Baccalauréat Général épreuve d’enseignement de spécialité ISJA 2. Soit (un) la suite déﬁnie par :    u0 = 1 un+1=f (un) a. Calculer les valeurs approchées de u1, u2 et u3 à 10−2 près et conjecturer sur la varia- tion de la suite (un). b. Démontrer, par récurrence, que ∀n ∈N, un > 0. c. Montrer que la suite (un) est décroissante. d. Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente. e. On admet que la limite de la suite (un) est solution de l’équation xe−x = x. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite. EXERCICE B 5 points Soit f la fonction déﬁnie sur R par : f (x) = xex2−1 et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. a. Montrer que pour tout réel x : f ′(x) = (2x2 +1)ex2−1 b. En déduire le sens de variation de f sur R 2. a. Montrer que pour tout réel x, f ′′(x) = 2x(2x2 +3)ex2−1 b. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction f est convexe. 3. Soit h la fonction déﬁnie sur R par : h(x) = x −f (x) a. Montrer que h(x) = x(1−ex2−1) b. On admet que l’inéquation 1 −ex2−1 ≥0 a pour ensemble de solutions l’intervalle [−1;1]. Déterminer le signe de h(x) sur [−1;1] et en déduire la position relative de la courbe C f et de la droite D d’équation y = x sur [−1;1]. Mathématiques 5 session Janvier 2022 uploads/Geographie/ bac-blanc-terminale.pdf