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Université Paris VII - Denis Diderot École Normale Supérieure École Doctorale P

Université Paris VII - Denis Diderot École Normale Supérieure École Doctorale Paris Centre Thèse de doctorat Discipline : Mathématiques présentée par Vivien Ripoll Groupes de réﬂexion, géométrie du discriminant et partitions non-croisées dirigée par David Bessis. Soutenue le 9 juillet 2010 devant le jury composé de : M. David Bessis École Normale Supérieure (Directeur) M. Cédric Bonnafé Université de Franche-Comté M. Frédéric Chapoton Université Lyon 1 (Rapporteur) M. Patrick Dehornoy Université de Caen M. Christian Krattenthaler Universität Wien (Rapporteur) M. François Loeser École Normale Supérieure M. Jean Michel Université Paris 7 2 Département de Mathématiques et Applications École Normale Supérieure 45 rue d’Ulm 75 005 Paris Université Paris Diderot - Paris 7 5 rue Thomas Mann 75 205 Paris Cedex 13 École Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris-Centre Case 188 4 place Jussieu 75 252 Paris Cedex 05 Remerciements Bien évidemment, c’est à David Bessis que vont mes premiers remerciements. Il a été pour moi, depuis le début de mon M2, et tout au long de ma thèse, un mentor remarquable. Il m’a montré comment construire mon intuition mathématique, comment prendre du recul, comment rédiger de manière lisible... Mais au-delà de ses indéniables qualités mathématiques, c’est par ses qualités humaines qu’il a su rendre ces années agréables et enrichissantes. Il a toujours été très attentif à ce que je ressentais, et pas seulement aux maths qui nous liaient formellement. Il m’est parfois arrivé au cours de ma thèse d’être démotivé ; mais, invariablement, en sortant de son bureau, j’étais de nouveau conﬁant et prêt à attaquer avec le sourire des questions passionnantes. Je lui suis aussi reconnaissant d’avoir su rester très disponible jusqu’à la ﬁn de ma thèse, malgré une vie professionnelle chargée. Bref, un énorme merci ! Christian Krattenthaler et Frédéric Chapoton ont accepté d’être rapporteurs de cette thèse. Je souhaite les remercier vivement ici pour le temps passé, pour leur enthousiasme, et pour avoir accepté de venir à Paris pour la soutenance. Je remercie Cédric Bonnafé, Patrick Dehornoy, François Loeser, et Jean Michel d’avoir bien voulu me faire l’honneur de faire partie du jury également. Un merci spécial à Jean Michel, pour avoir répondu patiemment à toutes mes questions sur le logiciel GAP, et à Patrick Dehornoy pour ses conseils utiles lors de mes passages à Caen, notamment au sujet des exposés oraux. Merci à toute l’équipe d’algèbre du DMA, qui a été ma maison mathématique pendant ces années de thèse ; en particulier, merci à mes cobureaux Emmanuel, Max, Zhi, Olivier B et Thomas, ainsi qu’à François C. Un grand merci aussi à Zaïna Elmir et Bénédicte Auffray qui rendent la vie pratique accessible à des matheux. Je remercie aussi toute l’équipe Groupes Finis de l’IMJ, qui m’a accueilli régulièrement : merci en particulier à Jean Michel déjà cité, Michel Broué (pour son cours de M2 passion- nant qui m’a introduit au monde des groupes de réﬂexion complexes, et pour avoir été tout au long de ces années un grand-père de thèse particulièrement enthousiasmant), François Digne (aussi pour tous les papiers administratifs !), Ivan Marin, Sungsoon Kim, Marc Cabanes, Vincent Beck (chargé de TD puis ami mathématique captivant), Nicolas Libedinsky, Re- naud Ramage... Toujours à Chevaleret, un grand merci à Michèle Wasse, pour sa compétence exceptionnelle, et pour avoir toujours eu les réponses à mes questions administratives ; merci aussi à Alice Dupouy qui a pris la relève courageusement et eﬃcacement ces derniers mois. J’ai pu proﬁter d’un séjour mathématique au sein du Mathematical Institute à Oxford, grâce à une subvention du réseau Representation Theory Across the Channel. Merci à Meinolf Geck et Bernard Leclerc pour la gestion de ce réseau. Sur place, merci à tout le labo de maths d’Oxford, et en particulier à Raphaël Rouquier pour l’accueil chaleureux et les échanges mathématiques très instructifs ; une partie de cette thèse lui doit beaucoup. 4 J’ai eu la chance de rencontrer Kyoji Saito, lors d’une conférence à Sapporo ; je le remercie pour son intérêt pour mon travail, pour les discussions enrichissantes et pour m’avoir fourni une version longue d’un de ses articles. Merci également à Vic Reiner, pour ses idées et son soutien eﬃcace. L’introduction de ce manuscrit doit beaucoup à la thèse de Drew Armstrong sur les partitions non-croisées : c’est ici l’occasion de le remercier d’avoir écrit 150 pages qui se lisent presque comme un roman. Merci à l’intelligence multicéphale qu’est le forum de maths de l’ENS, où les questions restent rarement sans réponses ; merci en particulier à David M et Joël B. Pour la partie informatique, particulièrement L AT EX, merci aux tuteurs de l’ENS, et au Bureau des Doctorants de l’IMJ. Je remercie tous mes amis matheux, qui m’ont aidé chacun à leur manière, dans un cadre mathématique ou non ; en particulier Mikael (trop de choses à dire pour une parenthèse !), Jérémy (relecteur rigoureux !), Olivier, Shona, Cyril, Laetitia, Gabriel, Damien, Valentin... Je n’oublie pas de remercier mes amis non matheux — colocs, amis de Toulon, de Marseille, de Paris et d’ailleurs —, qui m’ont soutenu de près ou de loin ; je le ferai de vive voix, et ce n’est pas ici le cadre adapté pour détailler tout ce qu’ils ont été pour moi, mais il est certain que leur amitié a été déterminante pendant ces années de thèse. Merci ! Enﬁn, merci à ma famille pour leur amour et leur soutien constant. Résumé Résumé Lorsque W est un groupe de réﬂexion complexe bien engendré, le treillis ncpW des par- titions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d’un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées...). De nombreuses propriétés combinatoires de ncpW sont démontrées au cas par cas, à partir de la classiﬁcation des groupes de réﬂexion. C’est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis ncpW en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d’une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhen- sion uniforme des liens entre la combinatoire de ncpW et la théorie des invariants de W. Le point de départ est l’utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (LL), déﬁni à partir de la géométrie du discriminant de W. Dans le chapitre 1, on raﬃne des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les ﬁbres de LL aux factorisations d’un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l’action d’Hurwitz du groupe de tresses Bn sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions ﬁnies d’anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions déﬁnies par un revêtement LL. On en déduit — sans utiliser la classiﬁ- cation — des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d’un élément de Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de LL. Mots-clefs Groupes de réﬂexion complexes, partitions non-croisées, nombres de Fuss-Catalan, formule de Chapoton, revêtement de Lyashko-Looijenga, factorisations d’élément de Coxeter. 6 Reﬂection groups, geometry of the discriminant and noncrossing partitions Abstract When W is a well-generated complex reﬂection group, the noncrossing partition lattice ncpW of type W is a very rich combinatorial object, extending the notion of noncrossing partitions of an n-gon. This structure appears in several algebraic setups (dual braid monoid, cluster algebras...). Many combinatorial properties of ncpW are proved case-by-case, using the clas- siﬁcation of reﬂection groups. It is the case for Chapoton’s formula, expressing the number of multichains of a given length in the lattice ncpW , in terms of the invariant degrees of W. This thesis work is motivated by the search for a geometric explanation of this formula, which could lead to a uniform understanding of the connections between the combinatorics of ncpW and the invariant theory of W. The starting point is to use the Lyashko-Looijenga covering (LL), based on the geometry of the discriminant of W. In the ﬁrst chapter, some topological constructions by Bessis are reﬁned, allowing to relate the ﬁbers of LL with block factorisations of a Coxeter element. Then we prove a transitivity property for the Hurwitz action of the braid group Bn on certain factorisations. Chapter 2 is devoted to certain ﬁnite polynomial extensions, and to properties about their Jacobians and discriminants. In Chapter 3, these results are applied to the extension deﬁned by the covering LL. We deduce — with a case-free proof — formulas for the number of submaximal factorisations of a Coxeter element in W, in terms of the homogeneous degrees of the irreducible components of the discriminant and Jacobian for LL. Keywords Complex reﬂection groups, noncrossing partitions, Fuss-Catalan numbers, Chapoton’s for- mula, Lyashko-Looijenga covering, factorisations of a Coxeter element. Table des matières Introduction 9 0.1 Le treillis des partitions non-croisées . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ these-de-doctorat-discipline-mathematiques.pdf