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Utbm mt40 Examen ﬁnal Automne 2007 Nb: On rédigera les exercices sur des feuill

Utbm mt40 Examen ﬁnal Automne 2007 Nb: On rédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultat intermédiaire aﬁn de poursuivre la résolution d’un exercice. Exercice 1 Le but de cet exercice est d’approximer la fonction logarithme népérien, notée ln, par diﬀérentes méthodes numériques. 1.1 Polynôme d’interpolation a) Donner la forme de Newton du polynôme d’interpolation de la fonction ln sur le support {1, 2}. b) On considère la fonction erreur e1, déﬁnie par e1(x) = ln(x) −p(x). Étudier les variations de e1 sur [1, 2]. En déduire que l’erreur est maximale, en valeur absolue, pour x = 1/ ln(2); donner la valeur maximale de e1 sur [1, 2]. 1.2 Méthode du point milieu Pour la suite du problème on rappelle que la fonction ln est déﬁnie par: ln(x) = x 1 1 t dt Nb : On remarquera ici que la variable d’intégration est t et non x; la variable x, elle, déﬁnit le segment d’intégration ! a) Montrer en utilisant la méthode d’intégration du point milieu, que : x 1 1 t dt ≃2x −1 x + 1 b) Étudier les variations de la fonction erreur eM, déﬁnie sur [1, 2] pour cette méthode par : eM (x) = ln(x) −2x −1 x + 1. c) En déduire la valeur maximale de eM sur [1, 2]. 1.3 Intégration gaussienne Maintenant on cherche à évaluer ln(x) = x 1 1 t dt par une intégration de Gauss-Legendre à deux points. a) Montrer en précisant le changement de variable à réaliser que : x 1 1 t dt = 1 −1 x −1 (x −1)u + x + 1du b) En déduire, en majorant l’erreur de méthode eG commise dans l’évaluation de I, que cette méthode donne une approximation de ln(x) à 10−2 près sur [1, 2]. .../... 1 1.4 Discussion a) Remarques générales : • La diﬀérence de précision entre les méthodes 1.2 et 1.3 est-elle surprenante ? • Au vu des calculs eﬀectués, par quel type d’objets mathématiques a-t-on approché ln(x) dans les parties 1.2 et 1.3 ? Même question pour la partie 1.1. b) Généralisation • Si on veut une précision d’ordre ε en utilisant la méthode de la partie 1.3, comment opérer ? Fournir le plan de mise en oeuvre. Exercice 2 L’objet de l’exercice est l’étude de la méthode de Müller, extension de la méthode de la sécante utilisée dans le cadre de la résolution d’équations non linéaires. Soit f une fonction numérique qu’on suppose déﬁnie sur R pour des raisons de simplicité. Soit i un entier naturel supérieur ou égal à 2; on considère trois réels notés xi, xi−1 et xi−2. On fournit en page 4 une représentation graphique générique de la situation où ﬁgurent f et son polynôme d’interpolation sur le support {xi, xi−1, xi−2}. On considère l’équation (E) : f(x) = 0 et on note l la solution cherchée. 2.1 Etude mathématique préalable a) Interpolation Fournir l’écriture de Newton du polynôme interpolateur p de f sur le support {xi, xi−1, xi−2} en fonction des diﬀérences divisées de f et des points du support. b) Transformation de l’écriture de p • Montrer que pour tout x réel on a: (x −xi) (x −xi−1) = (x −xi)2 + (x −xi) (xi −xi−1) . • En déduire que pour tout x réel on peut écrire: p (x) = f (xi) + (x −xi) ci + f [xi, xi−1, xi−2] (x −xi)2 sachant que ci = f [xi, xi−1] + f [xi, xi−1, xi−2] (xi −xi−1) . .../... 2 c) Soit (E′) l’équation approchée de (E), déﬁnie par: (E′) : p(x) = 0. • Combien l’équation (E′) admet-elle de solutions dans C en général ? Existe-t-il des exceptions ? • On pose X = x −xi. On considère l’équation (E”) : P(X) = 0, où P(X) est donnée par: P(X) = f (xi) + ciX + f [xi, xi−1, xi−2] X2 Montrer que si l’on souhaite construire par ce procédé une suite (xi)i∈N dont on espère qu’elle converge vers l, on devra : — déﬁnir xi+1 comme la racine convenable de l’équation (E′); — et par conséquent poser xi+1 = xi + X1, où X1 désigne la solution de (E”) de plus petit module. 2.2 Algorithme de Müller Un certain nombre de sous modules de l’algorithme proposé ci-dessous, sont seulement nommés, sans être précisément décrits Une fois complété, cet algorithme pourra être implémenté sous langage et opérationnel! On demande, grâce à l’étude mathématique préalable, de fournir le détail des modules suivants: Détermination de (E”), Calcul de X1 et Déﬁnition de vect(i + 1) en identiﬁant nettement les outils et l’environnement nécessaires. *********************** m¨ uller (x2, x1, x0, nmax →vect) 1. En-tête • Entrées: — x2, x1, x0 valeurs initiales de la racine cherchée; — nmax: nombre d’itérés de Müller demandés (nmax ≥3) • Sorties: Vecteur des nmax premiers itérés de Müller. 2. Corps d’algorithme (a) Initialisations: • {déclaration de vect comme vecteur de nmax complexes; • vect(1) ←x0;vect(2) ←x1;vect(3) ←x2 } (b) faire pour i ←3 jusqu’à nmax −1 1. Détermination de (E”); 2. Calcul de X1; 3. Déﬁnition de vect(i + 1). ﬁn de faire en i 3. Fin de fonction m¨ uller ( ) *********************** 2.3 On suppose ici que la fonction f est polynôme. a) La méthode de Newton permet-elle de déterminer des racines multiples, des racines complexes? Pourquoi? b) Mêmes questions pour l’algorithme de Müller. 3 Figure 1: 4 uploads/Geographie/ utbm-analyse-numerique-elementaire-2007-gm.pdf