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2- variogrammes 1 2. LE VARIOGRAMME Idée fondamentale: La nature n'est pas enti

2- variogrammes 1 2. LE VARIOGRAMME Idée fondamentale: La nature n'est pas entièrement "imprévisible". Deux observations situées l'une près de l'autre devraient, en moyenne, se ressembler davantage que deux observations éloignées. Ex. Soit trois localisations x0, x1 et x2, que l'on promène dans le gisement. On mesure la teneur en chacun de ces points. x1 x0 x2 La teneur au point x1 devrait ressembler plus (en moyenne) à celle observée en x0 qu'à celle en x2. On a peut-être intérêt à utiliser l'information contenue en x1 et x2 pour fournir un meilleur estimé de x0 que si l'on n'utilisait que x1. Notion de "continuité" de la minéralisation. Implicitement toutes les méthodes d'estimation reposent sur ce concept plus ou moins défini. En géostatistique, on cherche à quantifier cette continuité préalablement à tout calcul effectué sur le gisement. Soit deux points x et x+h séparés d'une distance h. x < > x+h La teneur en x est une variable aléatoire Z(x). La teneur en x + h aussi, Z(x+h). La différence entre les valeurs prises par ces deux v.a. est Z(x) - Z(x+h). C'est également une v.a. dont on peut calculer la variance. Cette variance devrait être plus petite lorsque les points sont rapprochés (les valeurs se ressemblent plus en moyenne) et plus grande lorsque les points sont éloignés. On appelle variogramme la demi- variance de cette différence, i.e. γ(x,x+h)=0.5*Var(Z(x)-Z(x+h)) Si l’on considère n localisations différentes x1,x2...xn, la meilleure description que l'on puisse faire des n variables aléatoires Z(x1), Z(x2),...Z(xn) est d'établir la fonction de distribution conjointe (multivariable). Clairement, ceci n'est pas possible puisqu'on ne peut disposer généralement que d'une seule observation à chacun de ces n points. On pourrait formuler une hypothèse très forte du genre: le vecteur des v.a. suit une loi multinormale de moyennes et variances-covariances spécifiées. Ceci serait beaucoup trop restrictif. La géostatistique a des visées plus modestes. On veut estimer des paramètres statistiques à partir des données et non imposer un modèle à priori qui aurait toutes les chances de s'avérer inadéquat. Les paramètres que l'on cherchera à estimer ne sont pas la fonction de distribution conjointe, ni même la fonction de distribution bivariable (i.e. les v.a. considérées deux à deux) mais simplement les deux premiers moments (moyenne, variance, covariance) des v.a. prises deux à deux. Même réduit à cela, on ne dispose toujours que d'une seule paire d'observations situées précisément aux points x et x+h. On ne peut donc estimer les paramètres statistiques sans formuler certaines hypothèses. Ces hypothèses ont uniquement pour but de permettre l'estimation des paramètres statistiques de notre modèle à partir des données. On les appelle hypothèses de stationnarité du second 2- variogrammes 2 ordre; elles visent essentiellement à "détacher" les deux premiers moments de localisations précises en permettant des translations des emplacements x et x+h. La covariance (et le variogramme) deviennent donc des fonctions dépendant uniquement de la distance séparant les points d'observation et non plus de leur localisation exacte. 2.1 Hypothèses de base et définition: Bref, on suppose que: i. L'espérance mathématique ne dépend pas de x, i.e. E[Z(x)]=m ou L'espérance des écarts est zéro i.e. E[Z(x) - Z(x+h)] = 0 ii. La covariance entre Z(x) et Z(x+h) ne dépend que de h i.e. Cov(Z(x),Z(x+h)) = C(h) ; stationnarité du second ordre, C(h) est appelé fonction de covariance ou covariogramme ou Le variogramme γ(h) ne dépend pas de la localisation x, seulement de h (soit en module, soit en module et en direction). i.e. 1/2 Var(Z(x)-Z(x+h)) = γ(h); hypothèse intrinsèque (cette dernière hypothèse est légèrement moins restrictive que la stationnarité du second ordre) Évidemment, ces hypothèses supposent une certaine régularité, une certaine homogénéité du gisement étudié. Si on peut reconnaître des zones très différentes géologiquement, on a habituellement intérêt à les traiter séparément. La fonction la plus utilisée en géostatistique pour décrire la continuité de la minéralisation est le variogramme, et ce surtout parce qu'elle est plus simple à estimer que la covariance (qui demande l'estimation préalable de l'espérance mathématique), mais également parce qu'elle permet d'accommoder les situations ou Var(Z(x)) n'est pas définie. Le variogramme théorique est défini comme: [ ] ( ) [ ] 2 h) + Z(x - Z(x) E 2 1 h) + Z(x - Z(x) Var 2 1 = (h) = γ où x est le vecteur de coordonnées (1, 2 ou 3 coordonnées selon le cas) h est le vecteur distance . Cette fonction, habituellement croissante en fonction de h, synthétise beaucoup d'informations concernant le comportement conjoint des variables aléatoires et concernant "la continuité" de la minéralisation. Ainsi, pour les modèles de variogramme montrant un seuil, on a : i. Portée a : Distance où deux observations ne se ressemblent plus du tout en moyenne, elles ne sont plus liées (covariance nulle) linéairement. À cette distance, la valeur du variogramme correspond à la variance de la variable aléatoire. ii. Palier σ2 = Co + C: Variance de la v.a. (Var(Z(x)) 2- variogrammes 3 Écarts les plus grands, en moyenne entre deux v.a. iii. Effet de pépite : C0: Variation à très courte échelle, erreurs de localisation, erreurs d'analyse et précision analytique. Ex. Une carotte fendue en deux et dont chaque partie est analysée séparément ne fournira pas exactement les mêmes valeurs pour les deux moitiés. Un même paquet de poudre, séparé en deux parties pour analyse ne donnera pas exactement la même teneur. Notes : i. Lorsque h = 0 on a γ (0) = 1 2 Var ( Z(x) - Z(x) ) = 0 Co et non par contre, l ( ) = C + 0 o im ε γ ε → i.e. on a une discontinuité à l'origine du variogramme. ii. Parfois les variogrammes ne montrent pas de palier (dans ce cas, la covariance et la variance n'existent pas). iii. Lorsque les variogrammes montrent un palier alors on peut facilement établir le lien entre la valeur du variogramme pour la distance h et la covariance pour deux observations séparées de h. γ σ σ (h) = 1 2 Var ( Z(x) - Z(x+h) ) = 1 2 [ Var ( Z(x) ) + Var ( Z(x+h) ) - 2 Cov ( Z(x) , Z(x+h) ) = - Cov ( Z(x) , Z(x+h) ) = - C(h) 2 2 donc, γ σ (h) = - C(h) 2 C(h) est appelé le covariogramme de Z. Cette relation est importante et elle est continuellement utilisée en géostatistique. On voit que lorsque la portée est atteinte, il n'y a plus de covariance entre les v.a., i.e. C(h) = 0 si h ≥ a. Lorsqu'il y a un palier, les deux fonctions sont équivalentes en ce sens qu'elles fournissent la même information sur le processus. Le variogramme possède toutefois deux avantages sur le covariogramme. i. Le variogramme est défini même s'il n'y a pas de palier. 2- variogrammes 4 ii. Dans l'expression du variogramme, la constante "m" n'apparaît pas et l'on n'a donc pas besoin de l'estimer comme c'est le cas lorsqu'on veut calculer directement le covariogramme. Variogramme expérimental et théorique distance h γ ( h ) C0 Palier (C0+C) Portée (a) Chaque phénomène géologique possède un variogramme qui lui est propre. Ainsi, • Un gisement d'or présentera un variogramme erratique avec un fort effet de pépite et une faible portée. • Un gisement de cuivre porphyrique montrera un variogramme linéaire à l'origine avec faible effet de pépite et grande portée. • Un gisement sédimentaire de fer présentera une portée plus grande parallèlement à la stratification que perpendiculairement à celle-ci (anisotropie géométrique). • La topographie pourra présenter un variogramme très continu avec comportement parabolique à l'origine et absence d'effet de pépite. Variogramme => outil descriptif puissant utilisable dans une multitude de domaines. 2- variogrammes 5 2.3 Estimation du variogramme On estime le variogramme à l'aide de [ ] ∑ = γ ) h ( N i i i e h) + x Z( - ) x Z( N(h) 2 1 = (h) 1 2 où N(h) nombre de paires dont les points sont espacées de h. Pour un champ donné, rien n'assure que la continuité soit identique dans toutes les directions. Par exemple, il se pourrait que des teneurs montrent une meilleure continuité parallèlement à la stratigraphie que perpendiculairement à celle-ci. De même, pour la contamination par des hydrocarbures, on pourrait observer une meilleure continuité horizontalement que verticalement en raison de la gravité. Si le nombre d'observations le permet (typiquement au moins 50, préférablement 100), on peut chercher à vérifier ce point en calculant le variogramme expérimental dans différentes directions. On peut aussi calculer le variogramme selon certaines directions spécifiques: [ ] ∑ θ = θ θ γ ) , h ( N i i i e h) + x Z( - ) x Z( ) N(h, 2 1 = ) (h, 1 2 où N(h,θ) = nombre de paires séparées de h dans la direction θ. En pratique on s'accorde une tolérance sur h et sur θ afin d'avoir suffisamment de paires pour chaque h et chaque θ. Pour chacune des classes ainsi formées, on calcule la distance uploads/Geographie/ variogramme-geostatistique.pdf