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Chapitre 3 LA FIABILITE Page 44 STRATEGIES DE MAINTENANCE BTS MI LA FIABILITE DES SYSTEMES DE PRODUCTION I – APPROCHE DE LA FIABILITE PAR LES PROBABILITES : Définition selon la NF X 06–501 : la fiabilité est la caractéristique d’un dispositif exprimée par la probabilité que ce dispositif accomplisse une fonction requise dans des conditions d’utilisation données et pour une période de temps déterminée. 1. Probabilité : c’est le rapport : 1 possibles cas Nb favorables cas Nb  On notera R(t) la probabilité de fonctionnement à l’instant t. Le symbole R provient de l’anglais Reliability. On notera F(t) la fonction définie par F(t)=1-R(t). C’est la probabilité complémentaire. F(t) est la probabilité de défaillance à l’instant t. F(t)+R(t)=1. 2. Fonction requise : ou accomplir une mission ou rendre le service attendu. La définition de la fonction requise implique un seuil d’admissibilité en deçà duquel la fonction n’est plus remplie. 3. Conditions d’utilisation : définition des conditions d’usage, c’est à dire l’environnement et ses variations, les contraintes mécaniques, chimiques, physiques, etc. Il est évident que le même matériel placé dans 2 contextes de fonctionnement différents n’aura pas la même fiabilité. 4. Période de temps : définition de la durée de mission T en unités d’usage. Ex : on se fixe un minimum R(Tm) = 0,9 pour une durée de mission Tm = 8000 heures ; à tout instant Ti de la mission est associée une fiabilité R(ti). Ex : moteur de voiture préparé pour les 24 heures du Mans :  Probabilité : c’est celle de terminer ; fiabilité requise=0,98  Fonction requise : 200 km/h de moyenne (seuil minimal)  Conditions d’utilisation : de jour, de nuit, avec de la pluie, n ravitaillements, etc.  Période de temps : au bout de 24 heures (durée de la mission) II – EXPRESSIONS MATHEMATIQUES : 21 – Fonctions de distribution et de répartition : Notion de variable aléatoire : on appelle variable aléatoire X une variable telle qu’à chaque valeur x de la VA X on puisse associer une probabilité F(x). Une variable aléatoire est donc une fonction qui à chaque évènement d’une expérience aléatoire associe un nombre réel. Une VA peut être :  Continue : intervalle de temps entre 2 défaillances consécutives  Discrète : nombre de défaillance sur un intervalle de temps Soit une loi de probabilité relative à une VA continue T. Cette loi est caractérisée par sa fonction de distribution (appelée aussi densité de probabilité) f(t) et par sa fonction de répartition F(t) telles que :      0 ( ) ( ) ( ) lim dt dF t P t T t dt f t dt dt La fonction F(t) représente la probabilité qu’un évènement (défaillance) survienne à l’instant T dans l’intervalle [0,t]. ( ) ( ) F t P T t   Comme ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ti f t dt P t T t dt F t f t dt P T ti          Remarque : si la VA est discrète, l’expression devient : 0 ( ) ( ) ( ) n F tn f ti P T tn     Chapitre 3 LA FIABILITE Page 45 STRATEGIES DE MAINTENANCE BTS MI LA FIABILITE DES SYSTEMES DE PRODUCTION 22 – Application à la fiabilité : Un dispositif mis en marche la 1ère fois à t=0 tombera inexorablement en panne à un instant T non connu à priori. T (date de la panne), est une VA de la fonction de répartition F(t).  F(t)  probabilité de défaillance avant un instant ti  R(t)  probabilité de bon fonctionnement à ti  R(t) + (F(t) = 1  0 ( ) ( ) 1 t t f t dt f t dt      23 – Taux de défaillance : On définit le taux de défaillance de la manière suivante : nombre de défaillants sur un intervalle de temps (t)=nombre de survivants au début de la période x intervalle de temps  On définit :  N0 le nombre initial de dispositifs  Ns(t) est le nombre de dispositifs survivants à l’instant t  Ns(t + Δt) est le nombre de dispositifs survivants à l’instant t + Δt Au niveau d’une défaillance, 2 cas peuvent se produire :  Les défaillants sont remplacés  Les défaillants ne sont pas remplacés Les défaillants sont remplacés : Ns(t) sera toujours égal à N0 : On nomme C(Δt) le nombre de défaillants durant Δt. D’après la formule générale du taux de défaillance, on a : 0 ( ) (t)= . C t N t    . Les défaillants ne sont pas remplacés : ( ) ( ) ( ) (t)= . s t Ns t Ns t t N t     Ce taux de défaillance est une valeur moyenne sur une période Δt connue. Or, au même titre que F(t) et R(t), il est intéressant de connaître l’évolution de λ(t) au cours du temps. C’est le taux de défaillance instantané : On fait tendre Δt  dt et (Ns(t) – Ns(t + Δt))  dN. dN sera précédé du signe « - » car il y a moins de survivants à (t + Δt) qu’à t. ( ) (t)= . t dN N dt    (t).dt= ( ) dN N t   (t).dt  est appelé probabilité conditionnelle de défaillance sur [t, t+dt]. Applications : Cas N°1 : les défectueux sont remplacés. Une étude a été menée sur 70 véhicules pendant une période allant de 80000km à 90000km. 41 défaillances ont été réparées. Déterminer le taux de défaillance pour cette période.        4 ( ) 41 ( ) 0,585.10 / . 70.(90000 80000) C t t panne km No t  Chapitre 3 LA FIABILITE Page 46 STRATEGIES DE MAINTENANCE BTS MI LA FIABILITE DES SYSTEMES DE PRODUCTION Cas N°2 : les défectueux ne sont pas remplacés. On teste un lot de 50 électrovannes soumises en continu à 8 impulsions par minute. A la 50ème heure, il en reste 33. A la 60ème heure, il en reste 27. Déterminer le taux de défaillance sur cette classe, par heure et par impulsion. 3 5 ( ) ( ) 33 27 ( ) 18.10 / 3,79.10 / . ( ). 33.10 Ns t Ns t t t def heure def imp Ns t t            Si les électrovannes étaient remplacées, on obtiendrait : 3 ( ) 33 27 ( ) 12.10 / . 50 10 C t t def heure No t x         Liaison entre le taux de défaillance et la fiabilité : « Probabilité d’avoir une panne entre t et dt » = « probabilité de survivre à l’instant t » x « probabilité conditionnelle de défaillance entre t et t+dt ». Cette expression est identique à : ( ). ( ). (t).dt f(t)=R(t). (t) f t dt R t     Il vient donc l’expression du taux de défaillance en fonction de la loi de fiabilité et la densité de probabilité : f(t) (t)=R(t)  Synthèse : Chapitre 3 LA FIABILITE Page 47 STRATEGIES DE MAINTENANCE BTS MI LA FIABILITE DES SYSTEMES DE PRODUCTION III – EXPRESSIONS DES LOIS DE FIABILITE : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) (1 ( )). 1 ( ) dF u f u du f u dF u dF u dF u u u du R u R u d u F u du F u           Intégrons les 2 membres entre 0 et t :     0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ). ( ). 1 ( ) 1 ( ) ( ). ln(1 ) ln(1 ( )) ln(1 (0)) t t t t t t dF u dF u u du u du F u F u u du Fu F t F                      A t=0, il n’y a pas de défaillance, donc F(0) = 0, donc ln(1-F(0)) = ln1 = 0 0 ( ). 0 ( ). ln(1 ( )) 1 ( ) ( ) t t u du u du F t e F t R t           On obtient donc les expressions générales des lois de fiabilité : 0 0 0 ( ). ( ). ( ). 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ). ( ) . ( ). t t t u du u du u du R t e uploads/Histoire/ 03-la-fiabilite 2 .pdf