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Université de Yaoundé I Ecole Nationale Supérieure Polytechnique (ENSP) Départe

Université de Yaoundé I Ecole Nationale Supérieure Polytechnique (ENSP) Département des Génies Electriques et Télécommunication (GETEL) Master Professionnalisant en Télécommunication (MPT) UV : RES212 : Communication Numérique (Théorie des Files d’Attente) Emmanuel TONYE, Janvier FOTSING Rappels de probabilités Chapitre1 Rappels de probabilités 1. Introduction Le chapitre introductif que nous présentons ici, rappelle les notions de probabilité nécessaires pour l’unité de valeur Communication Numérique (Théorie des Files d’Attente). Les étudiants connaissant bien le domaine peuvent donc passer aux chapitres suivants. 1.1 Evénements et probabilité Considérons le cas d’un dé pipé à 6 faces. A chaque tentative il y a 6 sorties possibles. On définit ainsi l’espace des résultats possibles : { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = S On peut alors définir un événement comme un sous ensemble de S. Ainsi l’événement correspond aux deux sorties 2 ou 4 du dé. On peut alors définir l’événement complémentaire { 4 , 2 = A } { 6 , 5 , 3 , 1 = A } } . Deux événements sont dits exclusifs si ils n’ont aucun point commun. C'est-à-dire si la réalisation d’un des événements rend l’autre impossible. L’événement est ainsi exclusif par rapport à l’événement A. De la même manière { 6 , 3 , 1 = B A et A sont exclusifs. On définit la somme ou l’union de deux événements comme l’ensemble des valeurs de deux événements. Ainsi en introduisant { } 3 , 2 , 1 = C , l’événement représente l’ensemble des valeurs . C B D ∪ = { } 6 , 3 , 2 , 1 = D On définit l’intersection de deux événements comme l’ensemble des valeurs qui sont communes aux deux événements. Ainsi C B E ∩ = est constitué par l’ensemble des valeurs . { } 3 , 1 = E Une mesure de probabilité P ou plus simplement une probabilité est une application qui associe à chaque élément de S un réel compris de 0 et 1. [ ] 1 , 0 : → S P Et qui vérifie les quatre probabilités suivantes : ¾ A chaque événement A appartenant à l’ensemble S on associe sa probabilité ( ) A P . Cette probabilité est positive, est inférieure ou égale à 1. ( ) 1 0 ≤ ≤ A P ¾ ( ) ( ) 1 0 = = S P et P φ ¾ Pour tous les événements A et B tels que ( ) ( ) (B P A P B A P alors B A + = ∪ ) = ∩ φ On en déduit alors : ( ) ( ) A P A P − = 1 Pour deux événements quelconques : ( ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B A P ∩ − + = ∪ En fin si on considère une famille d’événements exclusifs alors : i A j i avec A A j i ≠ = ∩ φ . Et : ( ) ( ) ∑ = i i i i A P A U P J. FOTSING 3 Rappels de probabilités Exemple 1.1 Pour le cas du dé pipé chaque valeur à une probabilité 6 1 de “sortir “. La probabilité de A est ( ) 6 2 = A P et la probabilité de B A ∪ , A et B étant exclusifs est donnée par : ( ) 6 5 6 3 6 2 = + = ∪B A P Considérons maintenant des ensembles quelconques, c'est-à-dire pas obligatoirement exclusifs, et plaçons nous dans le cas de deux événements j i B et A Dans le cas général on écrit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) et ou B A P B P A P B A P B A P B A P j i j i j i j i j i = ∩ = ∪ ∩ − + = ∪ ∩ = , , 1.1.1 Probabilité conditionnelle On définit aussi les probabilités conditionnelles. C'est-à-dire la probabilité d’avoir un événement sachant qu’un autre événement est vérifié. i A j B Cette probabilité conditionnelle s’écrit ( ) j i B A P / , et elle s’obtient au moyen de l’équation : ( ) ( ) ( ) j j i j i B P B A P B A P , / = On peut écrire l’équation dans l’autre sens, on obtient alors : ( ) ( ) ( ) i j i i j A P B A P A B P , / = Exemple 1.2 En prenant le cas du dé pipé évoqué précédemment, il vient que : ( ) 3 2 6 3 6 2 / = = B C P 1.1.2 Indépendance L’indépendance statistique de deux événements signifie que la probabilité d’un des deux événements n’est pas influencée par la réalisation de l’autre événement. Dans le cas de deux événements indépendants , on a donc : j i B et A ( ) ( ) i j i A P B A P = / On en déduit alors au moyen des probabilités conditionnelles : ( ) ( ) ( ) j i j i B P A P B A P × = , . 1.2 Variable Aléatoires, densité et fonction de répartition 1.2.1 Variable aléatoire J. FOTSING 4 Rappels de probabilités Si l’on considère un espace S et un élément S s ∈ , on peut définir une fonction ( ) s X dont le domaine est S et qui est à valeurs réelles. La fonction ( ) s X est appelée variable aléatoire. Exemple 1.3 Considérons une partie de pile ou face. L’espace S contient deux points P (ile) et F (ace). ( ) F P S , = On peut alors définir une fonction ( ) s X de la manière suivante : ( ) ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = = − = = = F s P s s X 1 1 Les exemples présentés jusqu’alors ont toujours considéré un ensemble S comportant un nombre fini de valeurs. On parle alors de variables discrètes. Cependant l’ensemble S peut très bien être constitué de deux valeurs continues. On parle alors, pour , de variable aléatoire continue. ( ) s X 1.2.2 Fonction de répartition On considère alors deux événements du type{ } x X ≤ , expression dans laquelle x est une valeur réelle entre . La probabilité de cet événement s’écrit alors : on parle aussi de la fonction de répartition pour la fonction . [ ∞ + ∞ − ] ( ) ( ) x X P x F ≤ = ( ) x F 1.2.3 Densité de probabilité On définit la densité de probabilité ( ) x P de la variable aléatoire X comme la dérivée de la fonction de répartition par rapport à x. ( ) x F ( ) ( ) [ ] ∞ + ∞ − ∈ = x dx x dF x P Ou encore ( ) ( ) [ ] ∫ ∞ − ∞ + ∞ − ∈ = x x du u P x F Lorsque l’on est confronté au problème d’estimer la probabilité pour qu’une variable aléatoire X soit comprise dans un intervalle( ) 1 2 2 1, x x avec x x 〉 , on considère les deux événements suivants : { } { 1 2 x X et x X ≤ ≤ } On peut alors décomposer l’événement { } 2 x X ≤ en deux événements exclusifs { } { 2 1 1 x X x et x X ≤ ≤ ≤ } ) ( ) On a alors l’équation de probabilité suivante : ( ) ( ) ( 2 1 1 2 x X x P x X P x X P ≤ < + ≤ = ≤ D’où ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx x P x X x P x F x F x X x P x X x P x F x F x x ∫ = ≤ < − = ≤ < ≤ < + = 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 J. FOTSING 5 Rappels de probabilités 1.3 Moments statistiques Si l’on considère une variable aléatoire de densité de probabilité , on définit la moyenne ou l’espérance de X de la manière suivante : ( ) x p ( ) ( )dx x xp m X E X ∫ +∞ ∞ − = = On définit la variance de X par : ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ +∞ ∞ − − = − = = dx x p m x m X E X Var X X X 2 2 σ En développant l’expression précédente, on montre que ( ) X X m X E 2 2 2 − = σ On démontre très aisément uploads/Histoire/ file-d-x27-attente-allpdf.pdf