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Probabilités – Terminale S 1 PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérie

Probabilités – Terminale S 1 PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expériences aléatoires et modèles Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard. A cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. ♦ Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements. ♦ Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires. ♦ Etant donné un univers Ω, l’événement Ω est l’événement certain. ♦ L’ensemble vide est l’événement impossible. ♦ L’événement formé des éventualités qui sont dans A et dans B est noté A ∩ ∩ ∩ ∩ B et se lit A inter B. ♦ L’événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B est noté A ∪ ∪ ∪ ∪ B et se lit A union B. ♦ Etant donné un univers Ω et un événement A, l’ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A constitue un événement appelé événement contraire de A, noté A . ♦ A et B sont incompatibles si et seulement si A ∩ ∩ ∩ ∩ B = ∅ ∅ ∅ ∅. Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on choisit un modèle de cette expérience ; pour cela on détermine l’univers et on associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé probabilité. Probabilités – Terminale S 2 b. Probabilités sur un ensemble fini Définition : Soit Ω Ω Ω Ω = {a1, a2, …, an} un ensemble fini. on définit une loi de probabilité sur Ω Ω Ω Ω si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que, pour tout i, 0  pi  1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai} et on note pi = p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai). pour tout événement E inclus dans Ω Ω Ω Ω, on définit p(E) comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui définissent E. Propriétés Parties de E Vocabulaire des événements Propriété A A quelconque 0  p(A)  1 ∅ E Evénement impossible Evénement certain p(∅) = 0 p(E) = 1 A ∩ B = ∅ A et B sont incompatibles p( A ∪ B) = p(A) + p(B) A A est l’événement contraire de A p(A ) = 1 – p(A) A, B A et B quelconques p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p( A ∩ B) Exercice n° 1 : On considère l’ensemble E des entiers de 20 à 40. On choisit l’un de ces nombres au hasard. A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 » B est l’événement : « le nombre est multiple de 2 » C est l’événement : « le nombre est multiple de 6 ». Calculer p(A), p(B), p(C), p(A ∩ B), p(A ∪ B), p(A ∩ C) et p(A ∪ C). Définition : On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Calculs dans le cas d’équiprobabilité Dans une situation d’équiprobabilité, si Ω a n éléments et si E est un événement composé de m événements élémentaires : Ω = card E card ) E ( p où card E et card Ω désignent respectivement le nombre d’éléments de E et de Ω. On le mémorise souvent en disant que c’est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Remarque : Les expressions suivantes « dé équilibré ou parfait », « boule tirée de l’urne au hasard », « boules indiscernables » … indiquent que, pour les expériences réalisées, le modèle associé est l’équiprobabilité . Probabilités – Terminale S 3 Exercice n° 2 : avec un dé On lance deux fois de suite un dé équilibré. 1° ) Représenter dans un tableau les 36 issues équi probables . 2° ) Calculer la probabilité des événements : A : « on obtient un double » ; B : « on obtient 2 numéros consécutifs » C : « on obtient au moins un 6 » ; D : « la somme des numéros dépasse 7 ». Exercice n° 3 : avec une pièce On lance 4 fois de suite une pièce équilibrée. 1° ) Dresser la liste des issues équiprobables. 2° ) Quel est l’événement le plus probable : A ou B ? A : « 2 piles et 2 faces » B : « 3 piles et 1 face ou 3 faces et 1 pile ». c. Variables aléatoires Exercice n° 4 : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2 € pour chaque résultat « pile » et on perd 1 € pour chaque résultat « face ». 1° ) Quel est l’ensemble E des issues possibles ? 2° ) Soit X l’application de E dans  qui, à chaque issue, associe le gain correspondant. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un gain de 3 € » ? On note cette probabilité p(X = 3). On obtient une nouvelle loi de probabilité sur l’ensemble des gains E’ = X(E) = {-3 ;0 ;3 ;6 } ; nous la nommons loi de probabilité de X : Gain xi x1 = -3 x2 = 0 x3 = 3 x4 = 6 Probabilité pi = p(X = xi) 8 1 8 3 8 3 8 1 Définition : ▪ Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble E muni d’une probabilité P, à valeurs dans . ▪ X prend les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn définies par : pi = p(X = xi). ▪ L’affectation des pi aux xi permet de définir une nouvelle loi de probabilité. Cette loi notée PX, est appelée loi de probabilité de X. Remarque : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn. On appelle respectivement espérance mathématique de X, variance de X et écart-type de X , les nombres suivants : Probabilités – Terminale S 4 ▪ l’espérance mathématique est le nombre E(X) défini par : E(X) = ∑ i=1 n ( ) pi xi . ▪ la variance est le nombre V défini par : V(X) = ∑ i=1 n pi ( ) xi – E(X) 2 = ∑ i=1 n pi xi² – E(X)². ▪ l’écart - type est le nombre σ défini par : σ = V. Exercice n° 5 : Un joueur lance un dé : si le numéro est un nombre premier, le joueur gagne une somme égale au nombre considéré (en euros) ; sinon il perd ce même nombre d’euros. 1° ) Si X est le gain algébrique réalisé, donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique et son écart-type. 2° ) Le jeu est-il favorable au joueur ? II. CONDITIONNEMENT a. Arbres pondérés Règles de construction La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est 1. La probabilité de l'événement correspondant à un trajet est le produit des probabilités des différentes branches composant ce trajet. Exemple On jette une pièce. ▪ Si on obtient pile, on tire une boule dans l’urne P contenant 1 boule blanche et 2 boules noires. ▪ Si on obtient face, on tire une boule dans l’urne F contenant 3 boules blanches et 2 boules noires. On peut représenter cette expérience par l'arbre pondéré ci-dessous : b. Probabilité conditionnelle Exercice n° 6 : En fin de 1eS, chaque élève choisit une et une seule spécialité en terminale suivant les répartitions ci –dessous : 2/5 3/5 2/3 1/3 1/2 1/2 F B N B N P p(P∩B) = 1/6 p(P∩N) = 1/3 p(F∩B) = 3/10 p(F∩N) = 1/5 Probabilités – Terminale S 5 Par spécialité : Mathématique s Sciences Physiques SVT 40% 25% 35% Sexe de l’élève selon la spécialité : Sexe / Spécialité Mathématiques Sciences physiques SVT Fille 45% 24% 60% Garçon 55% 76% 40% On choisit un élève au hasard. 1° ) Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire. 2° ) a) Quelle est la probabilité de chacun des év énements suivants ? F : « l’élève est une fille », M : « l’élève est en spécialité maths ». b) Quelle est la probabilité que ce soit une fille ayant choisi spécialité mathématiques ? c) Sachant que cet élève a choisi spécialité mathématiques, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? On appelle probabilité de F sachant M cette probabilité (conditionnelle) et on la note pM(F) ou P(F/M) Quelle égalité faisant intervenir p(F ∩ M), p(F) et pM(F) peut-on écrire ? Comparer p(F) et pM(F) et en donner une interprétation. d) Sachant que cet élève a choisi spécialité SVT, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? e) Comparer uploads/Histoire/ cours6-probabilites.pdf