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__________________________________________________________________________________________________________________________ 3Mstand/Renf Probabilités - 19 - JtJ – 2016 PROBABILITÉS ____________________________________________________________________________________________________________________________ La théorie des probabilités est née de l’étude par les mathématiciens des jeux de hasard. D'ailleurs, le mot hasard provient du mot arabe « az-zahr » signifiant dé à jouer. On attribue au mathématicien et philosophe français Blaise Pascal (1623 - 1662) les premières pierres de cet édifice théorique. Cette théorie s’est ensuite développée au cours des siècles pour devenir une discipline mathématique à part entière. On doit au mathématicien russe Andrey Kolmogorov en 1933, une formalisation de la théorie des probabilités. Blaise Pascal Andrey Nikolaevich Kolmogorov Quant à nous, nous pouvons prendre conscience de l’utilité d’un tel calcul si nous gardons à l’esprit le fait que la majorité des décisions que nous devons prendre comportent des éléments d’incertitude. C’est donc le cas en économie lorsque l’on décide d’introduire un nouveau produit, de lancer une campagne de publicité, d’investir une somme importante pour accroître la capacité de production d’une usine, de choisir le niveau d’un stock, d’accepter ou rejeter un lot de pièces peut-être défectueuses, de fixer le prix d’un produit par exemple. Dans chaque cas l’avenir est entaché d’un élément d’incertitude qu’il est impossible d’éliminer, mais dont il est possible de calculer la probabilité de réalisation. §1. Premières notions On lance deux dés bien équilibrés: un bleu et un rouge et on s’intéresse au total des points obtenus sur les deux faces supérieures. Ce total est un nombre entier compris entre 2 et 12. Avant de lancer les dés, on ne peut prévoir quel sera ce total: on a à faire à une expérience aléatoire. L’ensemble de tous les résultats que l’on peut obtenir au cours de cette expérience, ici exprimant le total des 2 dés, est appelé l’univers de l’expérience. On peut s’intéresser à la réalisation de certains événements tels que: «obtenir un total de 8 points» ou bien «obtenir un total de 8 ou 3 points» ou «obtenir un total de points pairs», etc… __________________________________________________________________________________________________________________________ JtJ – 2016 - 20 - 3Mstand/Renf Probabilités On a lancé 500 fois ces deux dés et noté chaque fois le total obtenu: Total des points 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nbre. d’apparitions 13 28 43 58 72 85 66 55 40 26 14 • L’événement «le total est 8» est réalisé 66 fois sur 500 lancers soit une fréquence de 0,132 = 13,2% • L’événement «le total est 3» est réalisé à une fréquence de 0,056 = 5,6 % • La fréquence de l’événement «le total est pair» s’obtient en ajoutant les fréquences de tous les totaux pairs: on trouve 0,496 = 49,6% et la fréquence de l’événement complémentaire «le total est impair» est la différence 1 – 0,496 = 0,504 = 50,4%. Si ces deux dés sont utilisés à l’occasion d’un jeu de hasard, le joueur qui parie sur un total de 8 semble avoir une plus grande probabilité de gagner que celui qui parie sur un total de 3, si l’on estime que cette simulation de 500 lancers est digne de confiance… Une probabilité est un modèle théorique pour rendre compte des chances de réalisation d’un événement, conforme aux fréquences. Dans le cas précédent, on tentera de développer un modèle mathématique permettant d’éviter la simulation des 500 lancers. ?? Le saviez-vous ?? Buffon (~1750) lança 4040 fois une pièce de monnaie et constata que face était apparue dans 50,69 % des lancés. Pearson (au début du 20ème siècle) fit la même expérience, mais 24’000 fois; il s’aperçut qu’il y avait 50,05 % de faces. Précisons ici les mots définis dans l’exemple qui précède: Définition: Une expérience aléatoire est une expérience qui possède les deux propriétés suivantes: 1) on ne peut prédire avec certitude le résultat de l’expérience 2) on peut décrire, AVANT l’expérience, l’ensemble des résultats possibles L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble U de toutes les issues que l’on peut obtenir au cours de cette expérience. Exemple Expérience aléatoire ⇒ L’univers Lancer une pièce de monnaie U = {pile ; face} Jeter un dé U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} Jeter deux fois de suite le même dé U = {(1;1) ; (1;2) ; … ;(6;5) ; (6;6)} __________________________________________________________________________________________________________________________ 3Mstand/Renf Probabilités - 21 - JtJ – 2016 Définition: Soit U l’univers d’une expérience aléatoire. Un événement est un sous-ensemble de l’univers U. On note les événements par des lettres majuscules. Le sous-ensemble vide ∅ est l’événement impossible et l’univers U est l’événement certain. Exemple: On tire au hasard 1 jeton parmi les 3 jetons suivants : ; ; L’Univers U = {1 ; 2 ; 3} Les événements possibles sont: • « Obtenir le jeton 1 » A = {1} • « Obtenir le jeton 2 » A = {2} • « Obtenir le jeton 3 » A = {3} • « Obtenir le jeton 1 ou 2 » A = {1;2} • « Obtenir le jeton 1 ou 3 » A = {1;3} • « Obtenir le jeton 2 ou 3 » A = {2;3} • « Obtenir le jeton 1 ou 2 ou 3 » A = {1;2;3} = U • « Obtenir le jeton 4 » A = ∅ Définition: Soit U l’univers d’une expérience aléatoire, A et B deux événements. L’événement A est l’événement complémentaire de A L’événement A et B est réalisé lorsque les événements A et B se réalisent tous les deux simultanément. L’événement “A et B” est représenté par A ∩ B. L’événement A ou B est réalisé lorsque l’un au moins des événements A ou B se réalise. L’événement “A ou B” est représenté par A ∪ B. Diagrammes: Exemple: On lance un dé à 6 faces. On considère l’événement A = « on obtient un nombre pair » et B = « on obtient un nombre > 3 ». Représenter le diagramme de la situation: On observe que : • A = {1;3;5} = « obtenir un nombre impair » • B = {1;2;3} = « obtenir un nombre ≤ 3 » • A ∩ B = {4;6} = « obtenir un nombre pair et supérieur à 3 » • A ∪ B = {2;4;5;6} = « obtenir un nombre pair ou un nombre supérieur à 3 » __________________________________________________________________________________________________________________________ JtJ – 2016 - 22 - 3Mstand/Renf Probabilités Exemple: On lance simultanément 3 pièces de monnaie. a) Déterminer l’univers U des événements possibles • U = { } b) On considère les événements suivants: • événement A = « avoir au moins un pile » • événement B = « avoir plus de pile que de face » : Effectuer le diagramme de Venn c) Compléter les lignes suivantes: • – A = { } = « …………………………………………………………………» • – B = { } = « …………………………………………………………………» • A ∪ B = { } = « …………………………………………………………………» • A ∩ B = { } = « …………………………………………………………………» • A ∩ – B = { } = « …………………………………………………………………» __________________________________________________________________________________________________________________________ 3Mstand/Renf Probabilités - 23 - JtJ – 2016 Exercice 1 On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et on note les résultats obtenus, par exemple PPF. Déterminer: 1) l’univers U de cette expérience aléatoire 2) l’événement A = « pile sort en premier » 3) l’événement B = « face ne sort pas au deuxième lancer » 4) l’événement A 5) l’événement A ∩ B 6) l’événement C = « obtenir au moins deux fois face » Exercice 2 Soit U l’ensemble des élèves du gymnase, A celui des élèves de 1ère année, B celui des élèves de 2ème, C celui des élèves de 3ème, F l’ensemble des filles du gymnase et S l’ensemble des élèves de nationalité suisse. Décrire par des phrases les ensembles suivants : a) (A∪B) ∩F b) F ∩S c) (A∪C) ∩F ∩S Exercice 3 On lance un dé trois fois de suite et on note les issues obtenues, par exemple (2 ; 5 ; 3) , (1 ; 1 ; 6) , … Soit les événements A = «obtenir au moins un 6» et B = «obtenir au plus un 1». Parmi les événements suivants, lesquels contiennent le résultat (1 ; 1 ; 3) A ; B ; – A ; – B ; A ∪ B ; – A ∪ – B ; A ∩ B ; – A ∩ – B §2. Approche intuitive de la notion de probabilité Dans cette approche, nous allons utiliser les méthodes de dénombrement étudiées précédemment, c'est-à-dire l’analyse combinatoire. Si on tire deux cartes d’un jeu de 36 cartes bien brassé et si le tirage se fait au hasard, sans tricher. L’univers sera constitué de tous les tirages possibles de 2 cartes parmi les 36. Sans les décrire, nous savons qu’il y en a C2 36 = 36! 34! ⋅ 2! = 630 possibilités. Si maintenant, on s’intéresse parmi ces possibilités à l’événement A = «obtenir deux as». Nous pouvons calculer le nombre de possibilités d’obtenir 2 as à uploads/Histoire/ 3ms-prob.pdf