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http://xmaths.free.fr TES − Probabilités page 1 Probabilités I Probabilités élé

http://xmaths.free.fr TES − Probabilités page 1 Probabilités I Probabilités élémentaires Exemple Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte. On tire une boule de l'urne et on note sa couleur. L'ensemble des résultats possibles (éventualités) peut être noté : Ω = {B ; R ; V}. «tirer une boule rouge» correspond à {R}. «tirer une boule qui n'est pas bleue» correspond à {R ; V}. «tirer une boule noire» correspond à ∅. «tirer une boule qui n'est pas jaune» correspond à {B ; R ; V} = Ω. Définition Soit Ω l'ensemble des éventualités (résultats possibles) d'une expérience aléatoire (Ω est appelé univers). • On appelle événement, toute partie de Ω. • ∅ est une partie de Ω, c'est un événement, appelé événement impossible. • Ω est une partie de Ω, c'est un événement, appelé événement certain. Exemple Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte. On tire une boule de l'urne et on note sa couleur. L'ensemble des éventualités (univers) est Ω = {B ; R ; V}. Il y a huit événements : ∅ ; {B} ; {R} ; {V} ; {B ; R} ; {B ; V} ; {R ; V} ; Ω. Les événements {B} ; {R} et {V} qui comportent un seul élément sont parfois appelés événements élémentaires. Définition • La réunion de deux événements A et B est un événement A∪B, appelé aussi événement "A ou B". • L'intersection de deux événements A et B est un événement A∩B, appelé aussi événement "A et B". • Lorsque deux événements A et B ont une intersection vide (A∩B = ∅), on dit que ces événements sont disjoints ou incompatibles. • On appelle événement contraire d'un événement A et on note  A l'ensemble de toutes les éventualités qui ne sont pas dans A. (C'est la partie complémentaire de A dans Ω on la note aussi CΩ A). Remarque Un événement et son contraire sont incompatibles. Exercice 01 (voir réponses et correction) On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure. 1°) Définir l'ensemble des éventualités Ω. 2°) Écrire sous forme de partie de Ω les événements : A : «obtenir un numéro inférieur ou égal à 2», B : «obtenir un numéro impair», C : «obtenir un numéro strictement supérieur à 4». 3°) Écrire sous forme de partie de Ω les événements : A∪B ; A∩B ; A∪C ; A∩C ; B∪C ; B∩C ;  A ;  A ∪C ;  A ∩C . Donner pour chacun d'eux une phrase qui les caractérise. 4°) Parmi les événements utilisés précédemment, citer deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires l'un de l'autre. http://xmaths.free.fr TES − Probabilités page 2 Définition On considère Ω = {ω 1 ; ω 2 ;...; ω n}. On définit une loi de probabilité p sur Ω en associant à chaque éventualité ω i un nombre réel p(ω i) = p i tel que : • pour tout i ∈ {1 ; 2 ; ⋯ ; n} 0 £ pi £ 1 • p 1 + p 2 + ⋯ + p n = 1 On dit que p i est la probabilité de l'éventualité ω i. Exemple On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure. L'ensemble des éventualités Ω est { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }. 1°) Supposons que, lors d'un grand nombre de tirages, on obtienne les résultats suivants : Numéro 1 2 3 4 5 6 Fréquence 0,0606 0,1522 0,1710 0,1685 0,1936 0,2541 La somme des fréquences est bien-entendu égale à 1. On a d2obs = i = 1 ∑ i = 6     fi - 1 6 2 = 0,019851 donc d2obs > 0,003 . Le dé n'est pas équilibré au risque de 10% (voir chapitre Statistiques). On peut choisir une loi de probabilité p sur Ω, en associant à chaque numéro, sa fréquence d'apparition. On aura alors p1 = 0,0606 ; p2 = 0,1522 ; p3 = 0,1710 ; p4 = 0,1685 ; p5 = 0,1936 ; p6 = 0,2541 Compte-tenu des variations de fréquences liées au tirage (fluctuation d'échantillonnage), on peut aussi arrondir ces fréquences et choisir la loi de probabilité p sur Ω, définie par : p1 = 0,06 ; p2 = 0,15 ; p3 = 0,17 ; p4 = 0,17 ; p5 = 0,19 ; p6 = 0,26 On prendra soin de vérifier que la somme des probabilités des éventualités est égale à 1. 2°) Supposons que, lors d'un grand nombre de tirages, on obtienne les résultats suivants : Numéro 1 2 3 4 5 6 Fréquence 0,1589 0,1663 0,1668 0,1643 0,1721 0,1716 La somme des fréquences est égale à 1. On a d2obs = i = 1 ∑ i = 6     fi - 1 6 2 = 0,00012 donc d2obs £ 0,003 . Le dé est supposé équilibré. On choisira des probabilités égales pour chacune des éventualités, la loi de probabilité p sur Ω, sera alors définie par : p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1 6 La somme des probabilités des éventualités étant égale à 1. Pour trouver la probabilité de l'événement A : «obtenir un numéro pair», il suffira d'ajouter les probabilités des éventualités 2 ; 4 et 6 . Dans le premier cas on obtiendra p(A) = p2 + p4 + p6 = 0,15 + 0,17 + 0,26 = 0,58 et dans le deuxième cas p(A) = p2 + p4 + p6 = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 3 6 = 1 2 = 0,50. Définition Soit p une loi de probabilité sur un univers Ω. Pour tout événement A on appelle probabilité de A la somme des probabilités des éventualités de A. Si A = {a 1 ; a 2 ; ⋯ ; a k}, on a : p(A) = p(a 1) + p(a 2) + ⋯ + p(a k). On pose d'autre part p(∅) = 0. Remarque La probabilité de l'événement certain Ω est la somme des probabilités de toutes les éventualités et par définition on a donc p(Ω) = 1. http://xmaths.free.fr TES − Probabilités page 3 Cas particulier Lorsque les éventualités ont toutes la même probabilité, on dit qu'elles sont équiprobables ou que la loi de probabilité est uniforme. Si Ω = {ω 1 ; ω 2 ; ⋯ ; ω n}, la probabilité de chaque éventualité est p0 = 1 card(Ω) = 1 n . Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est le nombre d'éléments de A divisé par le nombre d'éléments de Ω, c'est-à-dire p(A) = card(A) card(Ω) .     On dit aussi p(A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles Rappel • Si A et B sont deux ensembles finis disjoints (A∩B = ∅) card(A∪B) = card(A) + card(B) • Si A et B sont deux ensembles finis quelconques card(A∪B) = card(A) + card(B) - card(A∩B) Propriétés • Pour tout événement A, on a : p(A) ∈ [0,1]. •  A étant le contraire de A, on a : p (  A ) = 1 - p(A) . • Si A et B sont deux événements quelconques, on a : p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B) • Si A et B sont deux événements incompatibles , on a : p(A∪B) = p(A) + p(B) • Si A est contenu dans B, on a : p(A) £ p(B) • Si A 1, A 2, ... , A k sont des événements deux à deux disjoints, on a : p(A 1∪A 2∪...∪A k) = p(A 1) + p(A 2) + ⋯ + p(A k) Exercice 02 (voir réponses et correction) On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. 1°) Définir l'ensemble Ω des éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces éventualités. 2°) Quelle est la probabilité des événements suivants : a) A : la carte tirée est le roi de cœur, b) B : la carte tirée est un as, c) C : la carte tirée est rouge, d) D : la carte tirée est un as ou une carte rouge. Exercice 03 (voir réponses et correction) Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher. On considère l'épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule de l'urne. a) Définir l'ensemble Ω des éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces éventualités. b) Les 20 boules sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 vertes et 2 bleues. Quelle est la probabilité de chacun des événements : • la boule tirée est jaune, • la boule tirée est rouge ou verte, • la boule tirée n'est pas noire. Exercice 04 (voir réponses et correction) On lance deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 uploads/Histoire/ cours-probabilites.pdf