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MARCHES FINANCIERS / APPROFONDISSEMENTS / RISQUES ET VOLATILITES 1/9 LES RISQUE

MARCHES FINANCIERS / APPROFONDISSEMENTS / RISQUES ET VOLATILITES 1/9 LES RISQUES ET LES VOLATILITES Contrairement aux techniques d'observation des trends d'évolution (tendance et puissance de la leçon consacrée à l’analyse technique), l'objectif est ici de mesurer l'importance des perturbations qui se définissent autour d'un mouvement général. Cette mesure concerne en tout premier lieu, l'étude des instruments financiers optionnels. Ils sont en effet construits pour se protéger contre l'incertitude de l'évolution des prix et leur valorisation est directement fonction de l'intensité de ces variations erratiques. Cette mesure concerne aussi l'analyse des risques de marché pour lesquels l'expérience du passé est une source d'information quantifiable et, aujourd'hui, couramment utilisée. Après avoir défini et appris à mesurer la volatilité historique (chapitre A), on introduira les processus stochastiques (chapitre B) qui sont la formalisation mathématique des hypothèses de marches au hasard des cours boursiers. La troisième partie (chapitre C) est une présentation de la Value-at-Risk (VaR), méthode aujourd’hui répandue de l’analyse du risque de marché. A) LA VOLATILITE HISTORIQUE L’indicateur de volatilité est l’outil de mesure fondamental relatif aux risques de marché. Son observation dans le passé du cours, la volatilité historique, conduit à l’évaluation d’un écart-type, estimateur d’une dispersion, classique en statistique. 1) L’insuffisance de l’écart-type du cours L'outil le plus connu pour mesurer une dispersion est l'écart type (ou son carré, la variance). On peut alors imaginer mesurer directement le degré de perturbation des marchés, sur une période de n observations, par l'estimation de la variance du cours : ∑ = + − − n k t k t M X n 1 2 1 ) ( 1 (Mt est la moyenne des n dernières valeurs observées) Mais cette mesure a l'inconvénient majeur évident de ne pas éliminer l'influence du trend. Une croissance régulière du cours doit correspondre à une volatilité nulle, alors que la variance du cours est bien, dans ce cas, différente de zéro. MARCHES FINANCIERS / APPROFONDISSEMENTS / RISQUES ET VOLATILITES 2/9 2) L’écart-type du rendement L'idée la plus naturelle est alors de substituer à la série brute Xt , sa variation Xt+1 − Xt (son écart-type sera nul pour un trend linéaire) et, mieux encore, sa variation relative : t t t X X X − +1 Celle-ci est insensible, en particulier, aux choix d'unités. On retrouve ici la mesure d'un rendement, exprimé en taux d'accroissement et on préfère souvent lui substituer la mesure (proche) d'un rendement continu :         = + t t t X X r 1 ln La volatilité d'une période élémentaire (en général quotidienne) est alors l'écart-type de cette valeur rt . En appelant µt la moyenne des n dernières valeurs de rt, la variance est obtenue par : ∑ = + − − − n k t k t r n 1 2 1 ) ( 1 1 µ NB : La série observée des rt étant considérée comme un échantillon de rendements aléatoires, dont on recherche la variance, on applique la règle de calcul, classique en statistique, qui distingue la variance mesurée sur l'échantillon de celle de la population dont il est extrait, légèrement plus forte. Un coefficient n/(n−1) permet de passer d'une mesure à l'autre et l'on substitue ainsi, comme dans la formule ci-dessus, le diviseur (n−1), au nombre n des observations. On corrige enfin cette volatilité élémentaire en l'annualisant, c'est à dire en la multipliant par le nombre D de périodes élémentaires dans l'année. Cela revient à mesurer la dispersion d'un rendement annuel, égal à D fois le rendement mesuré sur une période. Si les observations sont, par exemple, les cours de clôture quotidiens, le nombre moyen de jours ouvrés dans l'année étant de 252, il convient de multiplier la variance par D = 252. La volatilité annuelle est alors : ∑ = + − − − = n k t k t t r n D 1 2 1 ) ( 1 µ σ Le tableau 1 résume les étapes pratiques du calcul d'une volatilité historique. MARCHES FINANCIERS / APPROFONDISSEMENTS / RISQUES ET VOLATILITES 3/9 Tableau 1 : Calcul d'une volatilité historique Etapes successives Commentaires 1. Construction de la série des Xt Choix de la grandeur mesurée (prix ou taux) Choix de la période (de quelques jours à plusieurs années) Choix de la périodicité (en général quotidienne, mais quelquefois inférieure à la journée) 2. Calcul des rendements Taux d'accroissement ( Xt+1 − Xt ) / Xt , ou Rendement continu ln( Xt+1 / Xt) (préférable) 3. Calcul de l'écart-type Corriger le "biais" (n−1)/n de l'échantillon, dans le calcul de la variance 4. Calcul de la volatilité annualisée Multiplier l'écart-type par la racine carrée du nombre D de périodes élémentaires dans une année et exprimer le résultat en pourcentage (× 100) 3) La volatilité pondérée La longueur de la période de calcul de la volatilité historique, c'est à dire le nombre n d'observations retenues dans le calcul est arbitraire. On peut à la fois observer une volatilité longue de 90 jours et une volatilité courte de 5 jours. On cherche ainsi, fréquemment, à tenir compte de la tendance profonde du marché, tout en accordant aux observations récentes une importance privilégiée. Cette idée conduit à la définition empirique d'une volatilité pondérée, pour laquelle interviennent, au niveau du calcul de la variance, des coefficients ak de poids décroissants avec l'ancienneté de l'observation (par exemple une pondération géométrique ak avec 0<a<1 ). ( ) ∑ ∑ = − = + − − − − n k k n k t k t k a r a n 1 1 1 1 1 1 1 µ L'annualisation s'effectue comme précédemment (cf. les calculs et les commentaires du cas 10.6. Volatilité historique lissée). 4) La volatilité "plus haut-plus bas" de Parkinson Les informations plus riches que constituent les valeurs "plus haut" Hk et "plus bas" Lk des cours pendant chaque séance, permettent de calculer un indicateur, mis au point par Parkinson (1980) et dont l'expression est : MARCHES FINANCIERS / APPROFONDISSEMENTS / RISQUES ET VOLATILITES 4/9 ∑ = + − + − = n k k t k t t L H n 1 1 1 ln 627 , 0 σ L'annualisation pose le problème de la longueur exacte de la durée de chacune des séances, inférieure généralement à la journée. On propose alors de choisir comme coefficient multiplicateur de la variance non pas 252, mais 252(24/Nh), où Nh est le nombre d'heures quotidiennement ouvertes. De telles estimations empiriques sont nombreuses chez les professionnels des marchés et, dans la mesure où le seul critère effectif est l'efficacité à mesurer (et quelquefois à prévoir) les risques de marché, elles restent souvent confidentielles. B) LES PROCESSUS STOCHASTIQUES Les processus stochastiques (ou aléatoires) sont des descriptions théoriques de séries temporelles dans lesquelles chaque valeur observée est assimilée au tirage d'une variable aléatoire. Une série passée de cours, ou de rendements, permet alors de caractériser les paramètres d'un modèle descriptif abstrait, modèle qui, par la suite, permet d'interpréter la série, en tendance ou en volatilité. Ces modèles conduisent à résoudre les problèmes d'évaluation et de prévision liés aux risques de marché et sont également à la base de l'analyse des instruments dérivés. 1) Les processus en temps discret Les processus stochastiques sont des fonctions du temps aléatoires. On ne présente ici que les processus où le temps est traité de manière discrète (suite de nombres), a priori adaptés au mode d'observation des séries temporelles. Un processus stochastique en temps discret est donc une suite de variables aléatoires réelles Xt où t est un entier. La loi d'un tel processus est théoriquement définie par les lois de tous les sous-ensembles de variables: {Xt1, Xt2 , ... , Xtn} pour tous les sous-ensembles de dates : {t1 , t2 , ... , tn} mais en pratique on utilise surtout des processus définis à partir des espérances de chacune des variables : µ(t) = E(Xt) et des covariances : Γ(t,h) = Cov( Xt , Xt+h ) (on note σ2(t) la variance de Xt, c'est-à-dire Γ(t,0).) MARCHES FINANCIERS / APPROFONDISSEMENTS / RISQUES ET VOLATILITES 5/9 Dans l'ensemble de tels processus une place particulière est faite aux processus dits stationnaires (et du second ordre) pour lesquels, schématiquement, tendance et volatilité sont constantes et tout phénomène cyclique absent. 2) Les processus stationnaires Mathématiquement un processus stationnaire, du second ordre, est tel que : • E(Xt) ne dépend pas de t, soit µ(t) = µ • Cov( Xt , Xt+h ) ne dépend pas de t, soit Γ(t,h) = Γ(h) Et donc en particulier, Γ(t,0) = σ2(t) = σ2 Γ(t,-h) = Γ(-h) = Γ(h) Pour de tels processus il est facile d'estimer les paramètres µ, σ et Γ(h) à partir d'une observation donnée. L'espérance µ est directement obtenue par la moyenne des observations X1, X2, ...,Xt : ∑ = = t k k X t m 1 1 La covariance (quelquefois appelée autocovariance) est obtenue par l'estimateur : ( )( ) ∑ − = + − − = h t k h k k h m X m X uploads/Histoire/ approfondissements-les-risques-et-les-volatilites.pdf