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Systèmes Dynamiques à Evénements Discrets _____________________________________

Systèmes Dynamiques à Evénements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________ Modèles et Systèmes Jean-Louis Ferrier, Jean-Louis Boimond juin 04 ____________________________________________________________________________________________ 1 SYSTÈMES DYNAMIQUES A ÉVÉNEMENTS DISCRETS : DU MODÈLE À LA COMMANDE Jean-Louis FERRIER, Jean-Louis BOIMOND ISTIA - Université d'Angers Laboratoire d'Ingénierie des Systèmes Automatisés (LISA) 62 Avenue Notre-Dame du Lac, F-49000 ANGERS e-mail : ferrier@istia.univ-angers.fr web : http://www.istia.univ-angers.fr/LISA Les Systèmes Dynamiques à Evénements Discrets sont une classe de systèmes dynamiques, pour la plupart "man-made" et complexes. Par opposition aux systèmes dynamiques "continus", ils satisfont généralement les deux propriétés suivantes : a) l'espace d'état est décrit par un ensemble discret b) les transitions d'état apparaissent seulement en des instants discrets du temps ; ces transitions d'état sont associées à des événements. De nouveaux outils et de nouvelles méthodologies doivent être développés afin de modéliser, concevoir, analyser les performances et commander de tels systèmes. 1. INTRODUCTION 2. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 2.1. Un exemple de SED 2.2. Systèmes continus, systèmes à événements discrets 3. DIFFERENTS MODELES POUR LES SED 3.1. Réseaux de Petri 3.2. Algèbre des dioïdes 3.3. Langages et Automates 3.3.1. Langages 3.3.2. Automates 4. COMMANDE DES SED 4.1. Réseaux de Petri de commande 4.2. Suivi de trajectoires : séquences de dates de tirs 4.3. Commande sous contraintes : un exemple 5. COMMANDE PAR SUPERVISION 6. CONCLUSION Systèmes Dynamiques à Evénements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________ Modèles et Systèmes Jean-Louis Ferrier, Jean-Louis Boimond juin 04 ____________________________________________________________________________________________ 2 1. INTRODUCTION Les systèmes automatisés de production, à l'initiative de l'Homme, sont caractérisés par une forte complexité et flexibilité ; selon un certain point de vue, ils peuvent être spécifiés par des modèles à "événements discrets". Les systèmes de trafic (aérien, ferroviaire,...), les systèmes de communication, le génie logiciel,... sont d'autres exemples de systèmes dynamiques dont l'activité est due aux occurrences asynchrones d'événements discrets, dont certaines sont provoquées (appui sur une touche du clavier) et d'autres pas (panne spontanée d'un équipement) [Ho 89] [Cassandras 93]. Dans la section 2 le concept de Systèmes Dynamiques à Evénements Discrets (SDED), qui sera par la suite abrégé en Systèmes à Evénements Discrets (SED), sera illustré. Un parallèle avec les systèmes dynamiques "classiques" à variables continues sera tenté et les différences entre ces systèmes1 seront mises en exergue. Si le cadre de modélisation des systèmes linéaires est bien établi, il n'en est pas de même pour les SED. Quelques exemples simples illustreront en section 3 les potentialités de modélisation et d’analyse par les réseaux de Petri, par l'algèbre (max,+), par les automates et les langages. Les notions de signal de commande et de loi de commande dans le cadre des SED seront abordées en section 4. En section 5 la commande par supervision, qui repose sur la théorie des langages et des automates, sera esquissée. Dans la conclusion, il sera tenté de dégager quelques éléments de réflexion sur cette classe de systèmes "artificiels" dont le développement depuis quelques décades a été concomitant de celui de l'informatique. 2. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 2.1. Un exemple de SED Une souris se déplace de manière spontanée (elle agit sans intervention extérieure) à l'intérieur d'un labyrinthe. Les salles Si communiquent par des portes unidirectionnelles P1 et P3 et bidirectionnelle P2. On note par "pi" l'événement : "la souris passe par la porte Pi". fig. 1.a fig. 1.b Soit ∑ l'ensemble des événements : ∑ = {p1, p2, p3}. 1 Le concept de système est caractérisé par : - des "composants" en interaction - une "fonction" particulière qu'il est sensé réaliser, avec le respect d'un ensemble de contraintes. Quelques définitions de "système" : * "Un système est un objet complexe, formé de composants distincts reliés entre eux par un certain nombre de relations" - Encyclopaedia Universalis. * "An assemblage or combination of things or parts forming a complex or unitary whole" - Webster's Dictionary. * " A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts" - IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms. P1 P3 P2 S1 S0 S2 A B C p1 p2 p3 p2 Systèmes Dynamiques à Evénements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________ Modèles et Systèmes Jean-Louis Ferrier, Jean-Louis Boimond juin 04 ____________________________________________________________________________________________ 3 On conçoit que les situations (ou comportements) possibles sont : • la souris est dans la salle S0 • la souris est dans la salle S1 • la souris est dans la salle S2 ce qui définit trois états différents, relatifs aux possibilités d'occupation des salles. Le passage de l'état "souris en S0" (état A) à "souris en S1" (état B) a lieu sur l'occurrence de l’événement p1. On peut alors construire le diagramme des états (fig. 1.b). L'espace d'état s'écrit X = {A, B, C}. ÿ 2.2. Systèmes continus, systèmes à événements discrets Des grandeurs telles que la position, la vitesse, l'accélération, le niveau, la pression, la température, le débit, la tension, le courant,... sont des variables continues, dans le sens qu'elles peuvent prendre n'importe quelle valeur dans R lorsque le temps, lui-même "continu", évolue. Les équations différentielles (et aux différences) sont alors un outil de base approprié pour la modélisation, l'analyse et la commande des systèmes physiques à temps continu (et à temps discret) correspondants, de même que pour des systèmes autres que physiques et/ou à base de lois de la nature (i.e., dynamique des populations). Comme nous pouvons le constater sur l'exemple présenté au § 2.1., notre environnement est fait aussi de systèmes pour lesquels : - les grandeurs auxquelles nous avons affaire sont discrètes, telles que le nombre de produits dans un stock, le nombre de processeurs en activité, ... - l'évolution est conditionnée par l'occurrence d'événements, à "certains instants", tels que la fin d'exécution d'une tâche, le franchissement d'un seuil devant entraîner une action, l'arrivée d'un produit, d'un client, la défaillance d'un dispositif, ... On sait que le comportement d'un système continu à l'instant t peut être résumé par son état qui représente la mémoire minimale du passé nécessaire à la détermination du futur2. Pour les modèles à état continu, l'espace d'état est un continuum composé de tous les vecteurs à n dimensions à composantes dans R (fig. 2.a). Dans la description des systèmes échantillonnés avec une période Te, généralement constante, la variable réelle t est remplacée par la variable entière k. Ces systèmes sont décrits par des équations aux différences. Il est important de noter que la discrétisation du temps n'implique pas la discrétisation de l'espace d'état. L'état peut prendre n'importe quelle valeur dans l'ensemble des nombres réels, comme dans le cas continu. On ne distinguera donc pas fondamentalement dans la suite les systèmes décrits par des équations différentielles et par des équations aux différences : ils sont simplement à temps continu ou à temps discret et la variable temps est une variable naturelle indépendante qui apparaît comme argument de toutes les fonctions d'entrée, d'état ou de sortie. 2 L'état X(ti) d'un système au temps ti est l'information nécessaire en ti telle que la sortie y(t), pour tout t ≥ ti, est uniquement déterminée à partir de cette information X(ti) et de la connaissance du signal d'excitation u(t), pour t ≥ ti. L'espace d'état d'un système est l'ensemble de toutes les valeurs possibles que peut prendre l'état, c’est ici un continuum. Un modèle de système s'écrit dans l'espace d'état sous la forme générale (cas continu) : X t • ( ) = f(X(t), u(t), t) X(t0) = X0 y(t) = g(X(t), u(t), t) Dans le cas des systèmes linéaires invariants dans le temps cette forme se réduit à : temps continu temps discret X t • ( ) = AX(t) + Bu(t) X(t0) = X0 X(k+1) = FX(k) + Gu(k) X(k0) = X0 y(t) = CX(t) + Du(t) y(k) = CX(k) + Du(k) Systèmes Dynamiques à Evénements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________ Modèles et Systèmes Jean-Louis Ferrier, Jean-Louis Boimond juin 04 ____________________________________________________________________________________________ 4 Pour les modèles à événements discrets (fig. 2.b), l'espace d'état est un ensemble discret et l'état change seulement à certains instants du temps, de façon instantanée. A chacune de ces transitions, on peut associer un événement, d'où la définition informelle d'un SED. Dans le jeu d'échec par exemple, chaque configuration définit un état. L'espace d'état résultant est grand, mais discret. état X (t) = x (t) x (t) 1 2 x2 x1 t X temps 2 X6 X4 X1 X5 X3 e1 e2 e3 e4 e2 e5 e6 e7 t tj t k tm tn to tp (espace d'état discret X) événements tl i état fig. 2.a X = { X1, X2, X3, X4, X5, X6 } ensemble (discret) d’états = espace d’états ∑ = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 } ensemble d'événements discret fig 2.b fig. 2. Comparaison des trajectoires pour a) un modèle à état continu (système continu) b) un modèle à événements discrets (SED) La trajectoire (constante par morceaux) saute d'un état à un autre avec l'occurrence d'un événement Remarques : • un même événement (e2) peut conduire à des états différents. • des événements différents (e1 et e5) peuvent conduire à un même état • des événements (e3) peuvent se produire et uploads/Histoire/ ch2-modeles-pour-les-sed-avec-supervision-2 1 .pdf