Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

DERNIÈRE IMPRESSION LE 1er mars 2017 à 14:13 Rappels de probabilité Probabilité

DERNIÈRE IMPRESSION LE 1er mars 2017 à 14:13 Rappels de probabilité Probabilité conditionnelle Loi binomiale Table des matières 1 Rappels 2 1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Opération sur les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Événement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Intersection de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Union de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.4 Autres opérations et lois de Augustus De Morgan . . . . . . 3 1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Loi équiprobable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Propriétés de l’espérance et de la variance . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Probabilité conditionnelle 9 2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Représentation par un arbre pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Loi binomiale 13 3.1 Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Loi binomiale de paramètres n et p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Propriétés des coefﬁcients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4 Représentation de la binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4.1 Représentation symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4.2 Autre représentation : asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PAUL MILAN 1 TERMINALE S TABLE DES MATIÈRES 1 Rappels 1.1 Déﬁnitions Expérience aléatoire : Protocole précis dont on ne peut prévoir l’issue mais qui peut être vériﬁée. Exemples : 1) Lancer un dé à 6 faces. 2) Tirer simultanément 2 boules dans une urne qui en contient 8. 3) Distribuer 5 cartes à un joueur avec un jeu de 32 cartes. 4) Poser une question à un lycéen choisi au hasard. Univers : Ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire. On le note : Ω. On a alors : Ω= {e1, e2, . . . , en} Exemple : Si on lance un dé à six faces, on a : Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Événément : Sous ensemble de l’ensemble univers Ω. Exemple : Soit l’événement : « obtenir un nombre pair avec le lancement d’un dé ». On a alors : E = {2, 4, 6} Événement élémentaire : Événement qui ne contient qu’un seul élément. On le note alors ei. Événement certain : C’est l’univers, Ω. Événement impossible C’est l’ensemble vide, ∅. 1.2 Opération sur les événements Remarque : L’étude des probabilités fait appel à la logique mathématique : en effet il s’agit de décoder dans la logique d’un texte les éléments qui serviront aux calculs de probabilités. Les mots les plus importants sont les conjonctions "et", "ou", et la négation "ne... pas" Cette logique mathématique fait appel à l’étude des opérations sur les ensembles. Pour cette raison on déﬁnit les opérations sui- vantes : le complémentaire, l’intersection et l’union. On donnera enﬁn d’autres opérations qui peuvent se décomposer à l’aide de ces trois opérations de base. 1.2.1 Événement contraire Définition 1 : On appelle événement contraire d’un événement A, l’événement noté A composé des éléments de Ωqui ne sont pas dans A. A A x ∈A ⇔ x ∈Ω et x / ∈A PAUL MILAN 2 TERMINALE S 1. RAPPELS Exemple : On lance un dé parfait. On appelle A l’événement "obtenir un 6". On a donc l’événement contraire A l’événement "ne pas obtenir 6 " 1.2.2 Intersection de deux événements Définition 2 : On appelle l’intersection de deux événements A et B, l’événe- ment noté A ∩B composé des éléments de Ωqui appartiennent à A et à B. On a alors le schéma suivant : A B x ∈A ∩B ⇔ x ∈A et x ∈B On dit que les événements A et B sont incompatibles si et seulement si : A ∩B = ∅ Exemple : On tire deux cartes dans un jeu de 32 cartes. Soient les événements • A : "obtenir deux cœurs" • B : "obtenir au moins une dame" L’événement A ∩B est donc : "obtenir la dame de cœur et un autre cœur" 1.2.3 Union de deux événements Définition 3 : On appelle union de deux événements A et B, l’événement noté A ∪B composé des éléments de Ωqui appartiennent à A ou (non exclusif) à B. On a alors le schéma suivant : A B x ∈A ∪B ⇔ x ∈A ou x ∈B On dit que les événements A et A forment une partition de Ωcar : A ∪A = Ω et A ∩A = ∅ Exemple : On tire deux cartes dans un jeu de 32 cartes. Soient les événements • A : "obtenir deux cartes de même valeur" • B : "obtenir un roi" L’événement A ∪B est donc : "obtenir deux cartes de même valeur ou un roi et une autre carte de valeur différente" 1.2.4 Autres opérations et lois de Augustus De Morgan Les opérations peuvent se déﬁnir à l’aide du complémentaire, de l’intersection et de l’union de deux ensembles. PAUL MILAN 3 TERMINALE S TABLE DES MATIÈRES • Différence entre deux ensembles : A −B A B x ∈A −B ⇔ x ∈A ∩B • Différence symétrique entre deux ensembles ("ou" exclusif) : A∆B A B x ∈A∆B ⇔(A ∩B) ∪(A ∩B) • Lois de Augustus De Morgan : ( non(A ou B) = non(A) et non(B) non(A et B) = non(A) ou non(B) A B A ∪B = A ∩B A B A ∩B = A ∪B Remarque : À l’aide de cette dernière égalité, on pourrait déﬁnir l’intersection uniquement à l’aide du complémentaire et de l’union A ∩B = A ∩B = A ∪B 1.3 Probabilité Définition 4 : On appelle loi de probabilité sur un ensemble Ω, la fonction P à valeur dans [0; 1] déﬁnie par les conditions suivantes : 1) P(Ω) = 1 2) Si A et B sont incompatibles alors P(A ∪B) = P(A) + P(B) PAUL MILAN 4 TERMINALE S 1. RAPPELS On peut alors démontrer les propriétés suivantes Propriété 1 : Soit e1, e2, . . . , en les n événements élémentaires de l’univers Ω. De la déﬁnition précédente, on en déduit : 1) P(e1) + P(e2) + · · · + P(en) = 1 2) P(∅) = 0 3) Pour tous événements A et B, on a les relations : a) P(A) = 1 −P(A) b) P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B) Exemples : 1) On lance un dé truqué. Après un relevé statistique, on a pu déterminer que les probabilités d’apparition de chaque face sont telles que : p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) et p(6) = 3 × p(1) Calculer la probabilité d’apparition de chaque face 2) On donne les probabilités suivantes pour les événements A et B : P(A) = 0, 3, p(A uploads/Histoire/ 10-cours-proba-cond-loi-binomiale.pdf